如圖,四棱錐的底面是矩形,底面邊的中點,與平面所成的角為,且。

(1)求證:平面
(2)求二面角的大小的正切值.
(1)見解析(2)
本試題主要是考查了立體幾何中線面垂直的證明與二面角的平面角的求解。
(1)因為底面,
所以,∠SBA是SB與平面ABCD所成的角
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1  易求得,AP=PD=,
又因為AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以,從而根據(jù)線面垂直的判定定理得到。
(2)
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,
則平面SAD⊥平面PAD
因為PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
過Q作QR⊥SD,垂足為R,連結(jié)PR,
由三垂線定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角,然后接合直角三角形得到求解。

證明:(1)因為底面,
所以,∠SBA是SB與平面ABCD所成的角……………….1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1  易求得,AP=PD=,…….2分
又因為AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以.……….3分
因為SA⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SA⊥PD,               ……………....4分
由于SA∩AP=A    所以平面SAP.………………… 5分
(2)設(shè)Q為AD的中點,連結(jié)PQ,       ……………………………6分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,
則平面SAD⊥平面PAD……..7分
因為PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
過Q作QR⊥SD,垂足為R,連結(jié)PR,
由三垂線定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角.…9分
容易證明△DRQ∽△DAS,則 因為DQ=1,SA=1,,
所以…….10分  在Rt△PRQ中,因為PQ=AB=1,
所以 所以二面角A-SD-P的大小的正切值為.13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ ACB=,EF∥AB,F(xiàn)G∥BC,EG∥AC. AB="2EF." 若M是線段AD的中點。求證:GM∥平面ABFE 
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,幾何體是四棱錐,△為正三角形,.
(1)求證:;
(2)若∠,M為線段AE的中點,求證:∥平面.

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(本題8分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,
PA=AB=2,M, N分別為PA, BC的中點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題10分)如圖已知在三棱柱ABC——A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M、N、P、Q分別是AA1、BB1、AB、B1C1的中點.
 
(1) 求證:面PCC1⊥面MNQ;
(2) 求證:PC1∥面MNQ。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在長方體中,分別是的中點,
的中點,

(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)求二面角的大小。
(Ⅲ)求三棱錐的體積。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)、為兩個不同的平面,、、為三條互不相同的直線,
給出下列四個命題:
①若,則
②若,,,則
③若,,則
④若、是異面直線,,,,則
其中真命題的序號是(   )
A.①③④B.①②③C.①③D.②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在直三棱柱中,為等腰直角三角形,,且,E、F分別為、BC的中點。

(1)求證:
(2)求二面角的余弦值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知m,n是兩條直線,α,β是兩個平面.有以下命題:
①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,則α∥β;
②若m∥α, m∥β , 則α∥β;
③若m∥α, n∥β , m∥n,則α∥β.
其中正確命題的個數(shù)是(     )
A.0B.1C.2D.3

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