【題目】為了提高生產(chǎn)線的運行效率，工廠對生產(chǎn)線的設(shè)備進行了技術(shù)改造.為了對比技術(shù)改造后的效果，采集了生產(chǎn)線的技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運行的時間長度（單位：天）數(shù)據(jù)，并繪制了如下莖葉圖：

（Ⅰ）（1）設(shè)所采集的40個連續(xù)正常運行時間的中位數(shù)，并將連續(xù)正常運行時間超過和不超過的次數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過

不超過

改造前

改造后

試寫出，，，的值；

（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，能否有的把握認為生產(chǎn)線技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異？

附：，

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

（Ⅱ）工廠的生產(chǎn)線的運行需要進行維護.工廠對生產(chǎn)線的生產(chǎn)維護費用包括正常維護費、保障維護費兩種對生產(chǎn)線設(shè)定維護周期為天（即從開工運行到第天（）進行維護.生產(chǎn)線在一個生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立.在一個維護周期內(nèi)，若生產(chǎn)線能連續(xù)運行，則不會產(chǎn)生保障維護費；若生產(chǎn)線不能連續(xù)運行，則產(chǎn)生保障維護費.經(jīng)測算，正常維護費為0.5萬元次；保障維護費第一次為0.2萬元周期，此后每增加一次則保障維護費增加0.2萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)線一個生產(chǎn)周期（以120天計）內(nèi)的維護方案：，，2，3，4.以生產(chǎn)線在技術(shù)改造后一個維護周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的頻率作為概率，求一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護費的分布列及期望值.

【答案】（Ⅰ）（1），，，，（2）有的把握認為連續(xù)正常運行時間有差異；（Ⅱ）分布列見解析，2.275萬元.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖得到，，，，計算，得到答案.

（Ⅱ）計算得到，得到分布列，計算數(shù)學期望得到答案.

（Ⅰ）（1）由莖葉圖知，根據(jù)莖葉圖可得：，，，.

（2）由于，所以有的把握認為連續(xù)正常運行時間有差異.

（Ⅱ）生產(chǎn)周期內(nèi)有4個維護周期，一個維護周期為30天，一個維護周期內(nèi)，生產(chǎn)線需保障維護的概率為.

設(shè)一個生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護的次數(shù)為次，則正常維護費為萬元，保障維護費為萬元.

故一個生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護次時的生產(chǎn)維護費為萬元.

由于，設(shè)一個生產(chǎn)周期內(nèi)的生產(chǎn)維護費為萬元，則分布列為

2

2.2

2.6

3.2

4

則萬元.

故一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護費的期望值為2.275萬元.

練習冊系列答案
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【題目】臺球運動已有五、六百年的歷史，參與者用球桿在臺上擊球.若和光線一樣，臺球在球臺上碰到障礙物后也遵從反射定律如圖，有一張長方形球臺ABCD，，現(xiàn)從角落A沿角的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺內(nèi)沿后進入角落C的球袋中，則的值為（ ）

A.B.C.1D.

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【題目】隨著人們生活水平的不斷提高，肥胖人數(shù)不斷增多.世界衛(wèi)生組織（WHO）常用身體質(zhì)量指數(shù)（BMI）來衡量人體胖瘦成度以及是否健康，其計算公式是.成人的BMI數(shù)值標準為：BMI偏瘦；BMI為正常；BMI為偏胖；BMI為肥胖.某研究機構(gòu)為了解某快遞公司員工的身體質(zhì)量指數(shù)，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，抽取了8名員工（編號1-8）的身高（cm）和體重（kg）數(shù)據(jù)，并計算得到他們的BMI（精確到0.1）如下表：

編 號

1

2

3

4

5

6

7

8

身高（cm）

163

164

165

168

170

172

176

182

體重（kg）

54

60

77

72

68

●

72

55

BMI（近似值）

20.3

22.3

28.3

25.5

23.5

23.7

23.2

16.6

（1）現(xiàn)從這8名員工中選取3人進行復(fù)檢，記抽取到BMI值為“正常”員工的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

（2）研究機構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)公司員工的身高（cm）和體重（kg）之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系，在編號為6的體檢數(shù)據(jù)丟失之前調(diào)查員甲已進行相關(guān)的數(shù)據(jù)分析，并計算得出該組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，且根據(jù)回歸方程預(yù)估一名身高為180cm的員工體重為71kg，計算得到的其它數(shù)據(jù)如下：，.

①求的值及表格中8名員工體重的平均值.

②在數(shù)據(jù)處理時，調(diào)查員乙發(fā)現(xiàn)編號為8的員工體重數(shù)據(jù)有誤，應(yīng)為63kg，身高數(shù)據(jù)無誤，請你根據(jù)調(diào)查員乙更正的數(shù)據(jù)重新計算線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)估一名身高為180cm的員工的體重.

附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為： ，.

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【題目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如圖，其中， ， ，點為線段的中點．

（Ⅰ）試問在線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，請證明平面，并求出的值，若不存在，請說明理由；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

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【題目】下列命題中假命題是（ ）

A.若隨機變量服從正態(tài)分布，，則；

B.已知直線平面，直線平面，則“”是“”的必要不充分條件；

C.若，則在方向上的正射影的數(shù)量為

D.命題的否定

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【題目】“二進制”來源于我國古代的《易經(jīng)》，該書中有兩類最基本的符號：“─”和“﹣﹣”，其中“─”在二進制中記作“1”，“﹣﹣”在二進制中記作“0”．如符號“”對應(yīng)的二進制數(shù)011（2）化為十進制的計算如下：011（2）＝0×22+1×21+1×20＝3（10）．若從兩類符號中任取2個符號進行排列，則得到的二進制數(shù)所對應(yīng)的十進制數(shù)大于2的概率為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）求實數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：．

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（1）若每個盲盒裝有、、三種樣式玩偶的概率相同．某同學已經(jīng)有了樣式的玩偶，若他再購買兩個這款盲盒，恰好能收集齊這三種樣式的概率是多少？

（2）某銷售網(wǎng)點為調(diào)查該款盲盒的受歡迎程度，隨機發(fā)放了200份問卷，并全部收回．經(jīng)統(tǒng)計，有的人購買了該款盲盒，在這些購買者當中，女生占；而在未購買者當中，男生女生各占．請根據(jù)以上信息填寫下表，并分析是否有的把握認為購買該款盲盒與性別有關(guān)？

女生

男生

總計

購買

未購買

總計

參考公式：，其中．

參考數(shù)據(jù)：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（3）該銷售網(wǎng)點已經(jīng)售賣該款盲盒6周，并記錄了銷售情況，如下表：

周數(shù)

1

2

3

4

5

6

盒數(shù)

16

______

23

25

26

30

由于電腦故障，第二周數(shù)據(jù)現(xiàn)已丟失，該銷售網(wǎng)點負責人決定用第4、5、6周的數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用第1、3周數(shù)據(jù)進行檢驗．

①請用4、5、6周的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程；

（注：，）

②若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2盒，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問①中所得的線性回歸方程是否可靠？

③如果通過②的檢驗得到的回歸直線方程可靠，我們可以認為第2周賣出的盒數(shù)誤差也不超過2盒，請你求出第2周賣出的盒數(shù)的可能取值；如果不可靠，請你設(shè)計一個估計第2周賣出的盒數(shù)的方案．

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