已知
a
=(2sinx,
2
cos(x-
π
2
)+1)
,
b
=(cosx,
2
cos(x-
π
2
)-1)
,設f(x)=
a
b

(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)在△ABC中,a,b,c分別為A,B,C的對邊,且a=2,f(A)=1,b=
6
,求邊c.
分析:(1)根據(jù)向量的數(shù)量積公式與三角恒等變換公式,化簡得f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)
,再利用三角函數(shù)的周期公式和單調(diào)區(qū)間的公式加以計算,可得答案;
(2)根據(jù)f(A)=1解出sin(2A-
π
4
)=
2
2
,結(jié)合A為銳角算出A=
π
4
.再利用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子建立關于邊c的等式,解之即可得到邊c的值.
解答:解:(1)根據(jù)題意,可得
f(x)=
a
b
=2sinxcosx+2cos2(x-
π
2
)-1=sin2x+cos(2x-π)

=sin2x-cos2x=
2
sin(2x-
π
4
)
,
∴f(x)的最小正周期T=
2

2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
,k∈Z
,解得kπ-
π
8
≤x≤kπ+
8
,k∈Z.
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為:[kπ-
π
8
,kπ+
8
],k∈Z

(2)∵a=2,b=
6
,a<b,∴A是銳角,即0<A<
π
2
,
f(A)=
2
sin(2A-
π
4
)=1
,∴sin(2A-
π
4
)=
2
2

又∵-
π
4
<2A-
π
4
4
,∴可得2A-
π
4
=
π
4
,解之得A=
π
4

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得:4=6+c2-
3
c
,
化簡得c2-2
3
c+2=0
,解得c=
3
+1
c=
3
-1
點評:本題著重考查了向量的數(shù)量積公式、二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和利用余弦定理解三角形等知識,屬于中檔題.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
=(2sinx,cosx)
,
b
=(
3
cosx,2cosx)
,且f(x)=
a
b
-1

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間;
(2)若x∈[0,
π
2
]
,求函數(shù)f(x)的最大值與最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
=(2sinx,cosx),
b
=(
3
cosx,2cosx)
,函數(shù)f(x)=
a
b

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)當x∈[-
π
6
,
π
2
]
時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
=(2sinx,cosx+sinx),
b
=(cosx,cosx-sinx)
,函數(shù)f(x)=
a
b
,
(1)求函數(shù)的解析式及函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)在[0,
π
2
]上的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
=(2sinx,cosx),
b
=(cosx,-2cosx)
,若f(x)=
a
b
+1,求:
(1)f(x)的表達式及周期
(2)y=lg[f(x)]的單調(diào)遞增區(qū)間.

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