Question

已知函數f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）a＞l，證明：當x∈（0，+∞）時，f（x）＞f（-x）；
（Ⅲ）若對任意x₁，x₂，x₁≠x₂，且當f（x₁）=f（x₂）時，有x₁+x₂＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）通過對函數求導確定單調區(qū)間，（Ⅱ）設出新函數，通過對新函數求導找到單調區(qū)間，確定最小值，從而問題得解，（Ⅲ）對a進行討論，由前兩問綜合得出．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=a^x•lna+2x-lna，
令g（x）=f′（x），
∴g′（x）=a^x（lna）²+2＞0，
∴g（x）是（-∞，+∞）上的增函數，
∵g（0）=0，
∴x＞0時，g（x）＞g（0）=0，此時f′（x）＞0，
x＜0時，g（x）＜g（0）=0，此時f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞增．
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-f（-x）=a^x-a^-x-2xlna，
∴h′（x）=（a^x+a^-x）lna-2lna，
∵a＞1，故lna＞0，
∴h′（x）≥2

ax•a-x

lna-2lna=2lna-2lna=0，
∴h（x）在（0，+∞）單調遞增；
∴h（x）＞h（0）=0，
即x∈（0，+∞）時，f（x）＞f（-x）．
（Ⅲ）由于x₁≠x₂，且f（x₁）=fx₂），
由（Ⅰ）知x₁，x₂異號，不妨設x₁＜0，x₂＞0，則x₁，-x₂∈（-∞，0），
由（Ⅱ）知：當a＞1時，f（x₁）=f（x₂）＞f（-x₂），
∵x∈（-∞，0）時，f（x）單調遞減，故x₁＜-x₂，∴x₁+x₂＜0，即a＞1適合題意；
當0＜a＜1時，lna＜0，由（Ⅱ）h（x）=a^x-a^-x-2xlna
h′（x）=（a^x+a^-x）lna-2lna≤2lna-2lna=0，
∴h（x）在（0，+∞）單調遞減，h（x）＜h（0）=0，
即f（x）＜f（-x），故f（x₁）=f（x₂）＜f（-x₂），
∵x∈（-∞，0）時，f（x）單調遞減，
x₁＞-x₂，x₁+x₂＞0，即0＜a＜1不合題意，
綜上：a＞1．

點評：本題考察了導數的綜合應用，函數的單調性，分類討論思想，是一道綜合題．