Question

各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，單調(diào)增數(shù)列的前項和為，，且（）．
（Ⅰ）求數(shù)列、的通項公式；
（Ⅱ）令（），求使得的所有的值，并說明理由．
（Ⅲ) 證明中任意三項不可能構(gòu)成等差數(shù)列．

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）所有的值為1，2，3，4，理由見解析（Ⅲ)證明見解析

試題分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
∵=，，=4，
∵，∴，∴.                                    ……3分
∴
∵+2　            ①
當(dāng)時，+2 ②
①-②得，即，
∵ ∴=3，
∴是公差為3的等差數(shù)列．
當(dāng)時，+2，解得=1或=2，
當(dāng)=1時，，此時=7，與矛盾；
當(dāng)時，此時此時=8=，
∴．　                                                    ……6分
（Ⅱ）∵，∴＝，
∴=2>1，=＞1，,，，
下面證明當(dāng)時，
事實上，當(dāng)時，＝＜0
即，∵， ∴當(dāng)時，，
故滿足條件的所有的值為1，2，3，4．                        ……11分
(Ⅲ)假設(shè)中存在三項(,∈N*)使構(gòu)成等差數(shù)列，
∴，即，∴．
因左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，矛盾．
∴假設(shè)不成立，故不存在任意三項能構(gòu)成等差數(shù)列．                     ……16分
點(diǎn)評：等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩類最重要的數(shù)列，它們的基本量的運(yùn)算要靈活掌握，另外，探索性問題通常都是先假設(shè)成立，再根據(jù)題意求解，如果求出符合要求的值就是存在的，如果求不出符合要求的解，就不存在.