【題目】已知拋物線上一點到其焦點的距離為2.

(Ⅰ)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點,直線過點且與拋物線交于,兩點(點在點之間),點滿足,求的面積之和取得最小值時直線的方程.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)由題意知,拋物線的焦點,把點代入拋物線方程,再結(jié)合點到其焦點的距離為2,利用兩點間距離公式得到關(guān)于的方程,解方程即可求解;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,點,易知直線的斜率存在,且不為零,設(shè)其方程為

設(shè),由,利用平面向量的坐標(biāo)運算可得,,聯(lián)立直線方程和拋物線方程得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達定理求出的值,利用數(shù)形結(jié)合可得,,再利用基本不等式求最值即可求解.

(Ⅰ)的焦點為,依題意有,解得,

所以,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,其準(zhǔn)線方程為:,

所以點易知直線的斜率存在,且不為零,其方程為,

設(shè),,因為,即,

,聯(lián)立方程,消去,得,,

根據(jù)題意,作圖如下:

.

當(dāng)且僅當(dāng),即時,

的面積之和最小,最小值為.

時,,,直線的方程為

時,,,直線的方程為,

的面積之和最小值時直線的方程為.

練習(xí)冊系列答案
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20132018年中國到一帶一路沿線國家的游客人次逐年增加

20132018年這6年中,2014年中國到一帶一路沿線國家的游客人次增幅最小

20162018年這3年中,中國到一帶一路沿線國家的游客人次每年的增幅基本持平

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