試題分析:(I)由題設(shè)知,
,
, 由
,
得
.解得
.所以橢圓
的方程為
(II)方法1:設(shè)點(diǎn)
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013506531426.png" style="vertical-align:middle;" />的中點(diǎn)坐標(biāo)為
,
所以
所以
.
因?yàn)辄c(diǎn)
在圓
上,所以
,即
.
因?yàn)辄c(diǎn)
在橢圓
上,所以
,即
.
故
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013506937673.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)
時(shí),
法2:由題知圓N:
的圓心為N;則
從而求
的最大值轉(zhuǎn)化為求
的最大值;
因?yàn)辄c(diǎn)
在橢圓
上,設(shè)點(diǎn)
所以
,即
.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013507187514.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
;
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013506937673.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)
時(shí),
,故
方法3:①若直線
的斜率存在,設(shè)
的方程為
,
由
,解得
.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013506063289.png" style="vertical-align:middle;" />是橢圓
上的任一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)
,
所以
,即
.所以
故
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013506937673.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)
時(shí),
,故
②若直線EF的斜率不存在,此時(shí)EF的方程為
; 由
,解得
或
.
不妨設(shè)E(0,3),F(0,1); 因?yàn)辄c(diǎn)
在橢圓
上,設(shè)點(diǎn)
所以
,即
所以
,故
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013506937673.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)
時(shí),
,故
點(diǎn)評(píng):難題,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì),注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題(2)注意討論直線的斜率存在、不存在兩種情況,易于忽視。熟練進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,是正確解題的關(guān)鍵。