Question

在拋物線y=x²+ax-5（a≠0）上取橫坐標(biāo)x₁=-4，x₂=2的兩點，經(jīng)過兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與該拋物線和圓5x²+5y²=36相切，則拋物線的頂點坐標(biāo)是（　　）

• A、（2，-9）
• B、（0，-5）
• C、（-2，-9）
• D、（1，6）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出兩個點的坐標(biāo)，利用兩點連線的斜率公式求出割線的斜率；利用導(dǎo)數(shù)在切點處的值為切線的斜率求出切點坐標(biāo)；利用直線方程的點斜式求出直線方程；利用直線與圓相切的條件求出a，求出拋物線的頂點坐標(biāo)．

解答： 解：兩點坐標(biāo)為（-4，11-4a），（2，2a-1）；
兩點連線的斜率k=

11-4a-2a+1

-4-2

=a-2，
對于y=x²+ax-5，y′=2x+a，
∴2x+a=a-2解得x=-1；
在拋物線上的切點為（-1，-a-4），切線方程為（a-2）x-y-6=0，
∵直線與圓相切，圓心（0，0）到直線的距離與圓的半徑相等，
∴

6

(a-2)2+1

=

36 5

解得a=4或0（0舍去）
∴拋物線方程為y=x²+4x-5頂點坐標(biāo)為（-2，-9）．
故選：C．

點評：本題考查兩點連線的斜率公式、考查導(dǎo)數(shù)在切點處的值為切線的斜率、考查直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑．