Question

（本小題滿分12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且；
（1）證明：無論取何值，總有；
（2）當(dāng)取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時的正切值；
（3）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的二面角為30º，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：見解析；
（2）當(dāng)＝時，θ取得最大值，此時sinθ=,cosθ=,tanθ="2" ；
（3）不存在點(diǎn)P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º

（1）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)及對應(yīng)向量的坐標(biāo)，易判斷，即AM⊥PN；
（2）設(shè)出平面ABC的一個法向量，表達(dá)出sinθ，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求出滿足條件的λ值，進(jìn)而求出此時θ的正切值；
（3）假設(shè)存在，利用平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°，則平面PMN與平面ABC法向量的夾角為30°，代入向量夾角公式，可以構(gòu)造一個關(guān)于λ的方程，研究方程根的情況，即可得到結(jié)論．
證明：（1）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A₁（0，0，1），

C

N

B₁（1，0，1）， M（0，1，），N（，0）
，，

（1）∵，∴
∴無論取何值，AM⊥PN………………………………4分
（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一個法向量.
∴sinθ=|cos<|=
∴當(dāng)＝時，θ取得最大值，此時sinθ=,cosθ=,tanθ=2 ………8分
（3）假設(shè)存在，則，設(shè)是平面PMN的一個法向量.
則得令x=3，得y=1+2,z=2-2
∴
∴|cos<>|=化簡得4
∵△＝100-4413＝-108<0
∴方程（*）無解
∴不存在點(diǎn)P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º