【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，其前項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，、、構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）首先由構(gòu)成等差數(shù)列得到與的關(guān)系式，然后利用得到與的關(guān)系式，從而證明數(shù)列為等差數(shù)列，最后求解通項(xiàng)公式；

（2）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，進(jìn)而得到表達(dá)式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求．

（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等差數(shù)列，所以，

所以當(dāng)時(shí)，，

兩式相減得，

所以，即，

又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，故．

又，即，所以，

從而，

故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，而，所以；

（2）由（1）知，，

所以，

所以．

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，顯然成立；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，需證．

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．

綜上，．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有六名同學(xué)參加演講比賽，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，比賽結(jié)果設(shè)特等獎(jiǎng)一名，，，，四名同學(xué)對(duì)于誰獲得特等獎(jiǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè).說：不是1號(hào)就是2號(hào)獲得特等獎(jiǎng)；說：3號(hào)不可能獲得特等獎(jiǎng)；說：4，5，6號(hào)不可能獲得特等獎(jiǎng)；說：能獲得特等獎(jiǎng)的是4，5，6號(hào)中的一個(gè).公布的比賽結(jié)果表明，，，，中只有一個(gè)判斷正確.根據(jù)以上信息，獲得特等獎(jiǎng)的是（ ）號(hào)同學(xué).

A.1B.2C.3D.4，5，6號(hào)中的一個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某快遞公司為了解本公司快遞業(yè)務(wù)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)營(yíng)業(yè)網(wǎng)點(diǎn)，得到了這些營(yíng)業(yè)網(wǎng)點(diǎn)2019年全年快遞單數(shù)增長(zhǎng)率x的頻數(shù)分布表：

（1）分別估計(jì)該快遞公司快遞單數(shù)增長(zhǎng)率不低于40%的營(yíng)業(yè)網(wǎng)點(diǎn)比例和快遞單數(shù)負(fù)增長(zhǎng)的營(yíng)業(yè)網(wǎng)點(diǎn)比例；

（2）求2019年該快遞公司快遞單數(shù)增長(zhǎng)率的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）.（精確到0.01）參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正三棱柱中，，D，E，F分別為線段，，的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）證明：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于 兩點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線分別交于 兩點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得以 為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某電動(dòng)車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)電動(dòng)車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為，且當(dāng)不超過0.5時(shí)，預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為，而當(dāng)超過0.5時(shí)，預(yù)計(jì)年銷售量不變．已知年利潤(rùn)=（出廠價(jià)－投入成本）×年銷售量．則本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)與投入成本增加的比例的關(guān)系式為______；為使本年度利潤(rùn)比上年有所增加，投入成本增加的比例的取值范圍為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知⊙M過點(diǎn)，且與⊙N：內(nèi)切，設(shè)⊙M的圓心M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程：

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)且與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．若直線PB與直線QB的斜率之積為，判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸）中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）若可，試判斷曲線和的位置關(guān)系；

（2）若曲線與交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，且，滿足.求的值.

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