Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 (2)

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由第一問(wèn)確定出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，之后將任意的，恒成立轉(zhuǎn)化為 ，即，

再構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合其性質(zhì)，求得最后的結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．

（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故在處取得最小值，且．

所以對(duì)于任意的，的充要條件為

，即 ①

設(shè)函數(shù)，則．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又，，，

所以當(dāng)時(shí)，，即①式成立，

綜上所述，的取值范圍是．