Question

【題目】設(shè)，函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）證明：存在一條定直線(xiàn)與曲線(xiàn)和都相切；

（2）若對(duì)恒成立，求的值

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）此題證明關(guān)鍵是找出一條公切線(xiàn)，先求導(dǎo)數(shù)，，，，正巧，即這兩個(gè)函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，且此點(diǎn)處兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等，這點(diǎn)處的切線(xiàn)就是公切線(xiàn)；（2）若對(duì)恒成立，即，記，由于，因此是的最大值，又，在附近，記，因此必有，從而得，接著檢驗(yàn)時(shí)，最大值．

試題解析：（1）證明：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分別為，

注意到對(duì)任意，

故直線(xiàn)與曲線(xiàn)與都相切

（2）設(shè)函數(shù)，則對(duì)任意，都有．

因?qū)θ我?/span>，都有，故為的極大值點(diǎn)

，

記，則，

注意到在的附近，恒有，

故要使為的極大值點(diǎn)，

必須（否則，若，則在的附近，恒有，從而，于是不是的極值點(diǎn)；同理，若，則也不是的極值點(diǎn)），即，從而

又當(dāng)時(shí)，，

則在上，，在上，，

于是在上遞增，在上遞減，

故．

綜上所述，