Question

已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（Ⅱ）若函數(shù)存在一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，且極大值與極小值的積為，求的
值.

Answer 1

（Ⅰ）所求面積為. （Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ），    當(dāng)時(shí)，，
，，所以曲線在處的切線方程為切線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，， 所以，所求面積為.
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，
所以，方程在內(nèi)存在兩個(gè)不等實(shí)根，
.  ，則
設(shè)為函數(shù)的極大值和極小值，
則，，
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012357087750.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，
即，，，
解得，，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以.
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問(wèn)題，（2）涉及方程實(shí)根的討論及研究，運(yùn)用了韋達(dá)定理，輕聲道切線斜率，等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值。