Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面邊長(zhǎng)為

2

，點(diǎn)P、Q、R分別在棱AA₁、BB₁、BC上，Q是BB₁中點(diǎn)，且PQ∥AB，C₁Q⊥QR
（1）求證：C₁Q⊥平面PQR；
（2）若C₁Q=

3

，求四面體C₁PQR的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AB⊥平面B₁BCC₁，從而PQ⊥平面B₁BCC₁，進(jìn)而C₁Q⊥PQ，又C₁Q⊥QR，由此能證明C₁Q⊥平面PQR．
（2）由已知得B₁Q=1，BQ=1，△B₁C₁Q∽△BQR，從而BR=

2

2

，QR=

6

2

，由C₁Q、QR、QP兩兩垂直，能求出四面體C₁PQR 的體積．

解答： （1）證明：∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴AB⊥平面B₁BCC₁，
又PQ∥AB，∴PQ⊥平面B₁BCC₁，
∴C₁Q⊥PQ，又已知C₁Q⊥QR，且QR∩QP=Q，
∴C₁Q⊥平面PQR．
（2）解：∵B₁C₁=

2

，C1Q=

3

，
∴B₁Q=1，∴BQ=1，
∵Q是BB₁中點(diǎn)，C₁Q⊥QR，
∴∠B₁C₁Q=∠BQR，∠C₁B₁Q=∠QBR，
∴△B₁C₁Q∽△BQR，∴BR=

2

2

，∴QR=

6

2

，
∵C₁Q、QR、QP兩兩垂直，
∴四面體C₁PQR 的體積V=

1

6

×C1Q×QR×QP=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、線面垂直的證明、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．