【題目】某校在圓心角為直角,半徑為的扇形區(qū)域內(nèi)進(jìn)行野外生存訓(xùn)練.如圖所示,在相距的,兩個(gè)位置分別為300,100名學(xué)生,在道路上設(shè)置集合地點(diǎn),要求所有學(xué)生沿最短路徑到點(diǎn)集合,記所有學(xué)生進(jìn)行的總路程為.
(1)設(shè),寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)最小時(shí),集合地點(diǎn)離點(diǎn)多遠(yuǎn)?
【答案】(1),;(2)集合地點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)的距離為時(shí),總路程最短,其最短總路程為.
【解析】
(1)先通過正弦定理將AD,BD用的三角函數(shù)表示出來,則,代入即可得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.(2)令,對(duì)y求導(dǎo)有求得y的最小值當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有極小值也是最小值為,即可算出AD.
(1)因?yàn)樵?/span>中,,,所以由正弦定理可知,
解得,,且,
故 ,
(2)令,則有,令得
記,,列表得
0 | |||
y | ↘ | 極小值 | ↗ |
可知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有極小值也是最小值為,
當(dāng)時(shí),此時(shí)總路程有最小值.
答:當(dāng)集合點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)的距離為時(shí),總路程最短,其最短總路程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線L:()的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)的動(dòng)直線l與拋物線L交于A,B兩點(diǎn),直線交拋物線L于另一點(diǎn)C,直線的最小值為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若過點(diǎn)A作y軸的垂線m,則x軸上是否存在一點(diǎn),使得直線PB與直線m的交點(diǎn)恒在一條定直線上?若存在,求該點(diǎn)的坐標(biāo)及該定直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形,四邊形是矩形,平面平面,,,,為的中點(diǎn),為線段上的一點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若二面角的大小為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4 — 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為().
(1)分別寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn),直線與曲線相交于兩點(diǎn),若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小學(xué)舉辦“父母養(yǎng)育我,我報(bào)父母恩”的活動(dòng),對(duì)六個(gè)年級(jí)(一年級(jí)到六年級(jí)的年級(jí)代碼分別為1,2…,6)的學(xué)生給父母洗腳的百分比y%進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),繪制得到下面的散點(diǎn)圖.
(1)由散點(diǎn)圖看出,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(2)建立y關(guān)于x的回歸方程,并據(jù)此預(yù)計(jì)該校學(xué)生升入中學(xué)的第一年(年級(jí)代碼為7)給父母洗腳的百分比.
附注:參考數(shù)據(jù):
參考公式:相關(guān)系數(shù),若r>0.95,則y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為= ,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一副直角三角板(如圖1)拼接,將折起,得到三棱錐(如圖2).
(1)若分別為的中點(diǎn),求證: 平面;
(2)若平面平面,求證:平面平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為.直線被稱作為橢圓的一條準(zhǔn)線.點(diǎn)在橢圓上(異于橢圓左、右頂點(diǎn)),過點(diǎn)作直線與橢圓相切,且與直線相交于點(diǎn).
(1)求證:.
(2)若點(diǎn)在軸的上方,,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD,,,AF⊥平面ABC,且.E為線段DC上一點(diǎn),沿直線AE將△ADE翻折成,M為的中點(diǎn),則三棱錐體積的最小值是________.
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