已知函數(shù),其中.
(1)若對(duì)一切恒成立,求的取值范圍;
(2)在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn),記直線 的斜率為,證明:存在,使成立.
(1)
(2)由題意可得
令則
令。
解析試題分析:(1),令
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增
∴當(dāng)時(shí), 有最小值
于是對(duì)于一切,恒成立,當(dāng)且僅當(dāng) ①
令,則
當(dāng)時(shí),取最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立
綜上所述的取值的集合為
(2)由題意可得
令則
令
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增。故當(dāng)時(shí),
即,,又,
所以
所以存在,使
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,不等式恒成立問題。
點(diǎn)評(píng):典型題,在給定區(qū)間,導(dǎo)數(shù)非負(fù),函數(shù)為增函數(shù),導(dǎo)數(shù)非正,函數(shù)為減函數(shù)。求函數(shù)的極值問題,基本步驟是“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、研究單調(diào)性、求極值”!昂愠闪栴}”往往通過構(gòu)造函數(shù),研究函數(shù)的最值,使問題得到解答。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在上無零點(diǎn),求的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求的最大值;(2)令,(),其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)當(dāng),,方程有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” .
(Ⅰ)證明:只要,無論取何值,函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
(Ⅱ)在同一函數(shù)圖像上任意取不同兩點(diǎn)A(),B(),線段AB中點(diǎn)為C(),記直線AB的斜率為k.
(1)對(duì)于二次函數(shù),求證;
(2)對(duì)于“偽二次函數(shù)” ,是否有(1)同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論。
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已知函數(shù)(且).
(1)當(dāng)時(shí),求證:在上單調(diào)遞增;
(2)當(dāng)且時(shí),求證:.
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已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)直線為曲線的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知實(shí)數(shù),函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有極大值32,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)若對(duì),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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