Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，，（），其中數(shù)列、都是遞增數(shù)列.

（1）若，，判斷直線與是否平行；

（2）若數(shù)列、都是正項(xiàng)等差數(shù)列，它們的公差分別為、，設(shè)四邊形的面積為（），求證：也是等差數(shù)列；

（3）若，（），，記直線的斜率為，數(shù)列前8項(xiàng)依次遞減，求滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）不平行；（2）證明見解析；（3）9個(gè).

【解析】

（1）確定A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），求得斜率，可得A1B1與A2B2不平行；

（2）因?yàn)?/span>{an}，{bn}為等差數(shù)列，設(shè)它們的公差分別為d1和d2，則an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2，從而可得，進(jìn)而可證明數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列；

（3）求得，根據(jù)數(shù)列{kn}前8項(xiàng)依次遞減，可得an﹣a+b＜0對(duì)1≤n≤7（n∈Z）成立，根據(jù)數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，故只要n＝7時(shí)，7a﹣a+b＝6a+b＜0即可，關(guān)鍵b1＝a+b≥﹣12，聯(lián)立不等式作出可行域，即可得到結(jié)論．

（1）由題意A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），

所以，

，

因?yàn)?/span>，所以A1B1與A2B2不平行．

（2）因?yàn)?/span>{an}，{bn}為等差數(shù)列，設(shè)它們的公差分別為d1和d2，

則an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2

由題意

所以[b1+（n﹣1）d2]}

，

所以，

所以Sn+1﹣Sn＝d1d2是與n無關(guān)的常數(shù)，

所以數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列

（3）因?yàn)?/span>An（an，0），Bn（0，bn），

所以

又?jǐn)?shù)列{kn}前8項(xiàng)依次遞減，

所以0，

對(duì)1≤n≤7（n∈Z）成立，

即an﹣a+b＜0對(duì)1≤n≤7（n∈Z）成立．

又?jǐn)?shù)列{bn}是遞增數(shù)列，所以a＞0，故只要n＝7時(shí)，7a﹣a+b＝6a+b＜0即可．

又b1＝a+b≥﹣12，聯(lián)立不等式作出可行域（如右圖所示），易得a＝1或2，

當(dāng)a＝1時(shí)，﹣13≤b＜﹣6即b＝﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，有7個(gè)解；

當(dāng)a＝2時(shí)，﹣14≤b＜﹣12，即b＝﹣14，﹣13，有2個(gè)解，所以數(shù)列{bn}共有9個(gè)．