【題目】如圖，四邊形是直角梯形， ，又，直線與直線所成的角為．

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】(1)見解析.（2）.

【解析】試題分析：方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分

（2）取BC的中點N，連MN．∵，∴，∴平面ABC．作

，交AC的延長線于H，連結MH．由三垂線定理得，∴為二面角的平面角．∵直線AM與直線PC所成的角為，∴在中， ．

在中， ．

在中， ．

在中， ．

在中，∵，∴．

故二面角的余弦值為．13分

方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分

（2）在平面ABC內(nèi)，過C作BC的垂線，并建立空間直角坐標系如圖所示．設，則． ． 5分

∵，

且，∴，得，∴． 8分

設平面MAC的一個法向量為，則由得得∴． 10分

平面ABC的一個法向量為． 12分

顯然，二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．13分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在銳角三角形中，分別為內(nèi)角所對的邊，且滿足.

（1）求角的大�。�

（2）若，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ．

（1）當時，若函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當， 時，對任意，有成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】不是直角三角形，它的三個角所對的邊分別為，已知.

（1）求證： ；

（2）如果，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】學校高一年級開設、、、、五門選修課，每位同學須彼此獨立地選三課程，其中甲同學必選課程，不選課程，另從其余課程中隨機任選兩門課程．乙、丙兩名同學從五門課程中隨機任選三門課程．

（Ⅰ）求甲同學選中課程且乙同學未選中課程的概率．

（Ⅱ）用表示甲、乙、丙選中課程的人數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【2018吉林長春高三下學期二模】為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調(diào)研，力爭有效的改良玉米品種，為農(nóng)民提供技術支．現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如下圖（單位：厘米），設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米．

（I）完成列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關？

（II）為了改良玉米品種，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株，再從這5株玉米中選取2株進行雜交試驗，選取的植株均為矮莖的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某縣政府為了引導居民合理用水，決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價：若用水量不超過12噸時，按4元/噸計算水費；若用水量超過12噸且不超過14噸時，超過12噸部分按6.60元/噸計算水費；若用水量超過14噸時，超過14噸部分按7.80元/噸計算水費．為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖．

（圖1） （圖2）

（Ⅰ）通過頻率分布直方圖，估計該市居民每月的用水量的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.01）；

（Ⅱ）求用戶用水費用（元）關于月用水量（噸）的函數(shù)關系式；

（Ⅲ）如圖2是該縣居民李某2017年1～6月份的月用水費（元）與月份的散點圖，其擬合的線性回歸方程是．若李某2017年1～7月份水費總支出為294.6元，試估計李某7月份的用水噸數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上滿足恒成立，求實數(shù)a的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位停靠的時間（單位：小時），如果停靠時間不足半小時按半小時計時，超過半小時不足1小時按1小時計時，以此類推，統(tǒng)計結果如表：

�？繒r間

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

輪船數(shù)量

12

12

17

20

15

13

8

3

（Ⅰ）設該月100艘輪船在該泊位的平均停靠時間為小時，求的值；

（Ⅱ）假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位停靠小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達，求這兩艘輪船中至少有一艘在�？吭摬次粫r必須等待的概率．

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