Question

設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），左準(zhǔn)線l₁與x軸交于點(diǎn)N（-3，0），過點(diǎn)N且傾斜角為30°的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線l和橢圓的方程；
（2）求證：點(diǎn)F₁（-2，0）在以線段AB為直徑的圓上；
（3）在直線l上有兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)C、D，以CD為直徑且過點(diǎn)F₁的所有圓中，求面積最小的圓的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程求出橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)，寫出橢圓的方程．
（2）將直線方程代入橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算x₁+x_2和x₁x₂的值，利用2個(gè)向量數(shù)量積公式計(jì)算•=0，得到F₁A⊥F₁B，所以點(diǎn)F₁在以線段AB為直徑的圓上．
（3）面積最小的圓的半徑長(zhǎng)應(yīng)是點(diǎn)F₁到直線l的距離，用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓的最小半徑．
解答：解：（1）直線l：y=（x+3），
由已知c=2及=3，解得a²=6，
∴b²=6-2²=2．
x²+3y²-6=0，①
∴橢圓方程為+=1．
（2） y=（x+3），②
將②代入①，整理得2x²+6x+3=0．③
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-3，x₁x₂=．
∵•=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂
=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]=x₁x₂+3（x₁+x₂）+7=0，
∴F₁A⊥F₁B．則∠AF₁B=90°．
∴點(diǎn)F₁（-2，0）在以線段AB為直徑的圓上．
（3）解：面積最小的圓的半徑長(zhǎng)應(yīng)是點(diǎn)F₁到直線l的距離，設(shè)為r．
∴r==為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求直線方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和橢圓的位置關(guān)系．