設(shè)橢圓=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn),且左焦點(diǎn)為
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C相交與兩不同點(diǎn)A,B時(shí),在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q,滿(mǎn)足=,證明:點(diǎn)Q總在某定直線(xiàn)上.
【答案】分析:(Ⅰ)通過(guò)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)知c=,且有a2=b2+c2,又點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓方程,則列方程組解之即可;
(Ⅱ)欲證點(diǎn)Q總在某定直線(xiàn)上,所以先設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為變量(x,y),點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為參數(shù)(x1,y1)、(x2,y2),然后根據(jù)已知條件可變形得,設(shè)其比值為λ則有、,此時(shí)利用定比分點(diǎn)定理可得A、B、P三點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系及縱坐標(biāo)關(guān)系,同時(shí)可得A、B、Q三點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系及縱坐標(biāo)關(guān)系,又因?yàn)辄c(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓方程,則有x12+2y12=4,x22+2y22=4,再利用已得關(guān)系式構(gòu)造x12+2y12與x22+2y22則可整體替換為4,同時(shí)消去參數(shù)λ,最后得到變量x、y的關(guān)系式,則問(wèn)題得證.
解答:解:(Ⅰ)由題意得,
解得a2=4,b2=2,
所以橢圓C的方程為

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2).
由題設(shè)知,,均不為零,記,則λ>0且λ≠1
又A,P,B,Q四點(diǎn)共線(xiàn),從而
于是,,
從而①,②,
又點(diǎn)A、B在橢圓C上,即x12+2y12=4 ③,x22+2y22=4 ④,
①+②×2并結(jié)合③、④得4x+2y=4,
即點(diǎn)Q(x,y)總在定直線(xiàn)2x+y-2=0上.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查橢圓性質(zhì)與定比分點(diǎn)定理,同時(shí)考查構(gòu)造消元處理方程組的能力.
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(I)證明:;
(II)設(shè)Q1,Q2為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),OQ1⊥OQ2,過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)Q1Q2的垂線(xiàn)OD,垂足為D,求點(diǎn)D的軌跡方程.

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(I)若∠AF1F2=α,∠AF2F1=β,試用α,β表示橢圓的離心率e;
(II)設(shè)數(shù)學(xué)公式1數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式2數(shù)學(xué)公式,當(dāng)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求證:λ12為定值.

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