Question

設橢圓=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A是橢圓上的一點，AF₂⊥F₁F₂，原點O到直線AF₁的距離為．
（I）證明：；
（II）設Q₁，Q₂為橢圓上的兩個動點，OQ₁⊥OQ₂，過原點O作直線Q₁Q₂的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求得A點的坐標，再求得直線AF1的方程，利用點到直線的距離結(jié)合條件得到一個關(guān)于a，b的關(guān)系式，化簡即得；
（2）設點D的坐標為（x，y）．欲求其軌跡方程，即尋找x，y的關(guān)系式，由直線Q₁Q₂的方程和橢圓的方程組成方程組，結(jié)合向量的垂直關(guān)系即可找到找x，y的關(guān)系式，從而問題解決．
解答：解：（I）由題設AF₂⊥F₁F₂及F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
不妨設點A（c，y），其中y＞0．
由于點A在橢圓上，有，即．
解得，從而得到．
直線AF₁的方程為，整理得b²x-2acy+b²c=0．
由題設，原點O到直線AF₁的距離為，即，
將c²=a²-b²代入上式并化簡得a²=2b²，即．

（II）設點D的坐標為（x，y）．當y≠0時，由OD⊥Q₁Q₂知，直線Q₁Q₂的斜率為，
所以直線Q₁Q₂的方程為，或y=kx+m，其中．
點Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）的坐標滿足方程組
將①式代入②式，得x²+2（kx+m）²=2b²．
整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2b²=0．
于是，．③
由①式得y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²==．④
由OQ₁⊥OQ₂知x₁x₂+y₁y₂=0．將③式和④式代入得，3m²=2b²（1+k²）．
將代入上式，整理得．
當y=0時，直線Q₁Q₂的方程為x=x．點Q₁（x₁，y），Q₂（x₂，y₂）的坐標滿足方程組
所以．
由OQ₁⊥OQ₂知x₁x₂+y₁y₂=0，即，解得
這時，點D的坐標仍滿足．
綜上，點D的軌跡方程為．
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．