Question

【題目】如圖，有一塊三棱錐形木塊，各面均是銳角三角形，其中面內(nèi)有一點.

（1）若要在面內(nèi)過點畫一條線段，其中點在線段上，點在線段上，且滿足與垂直，該如何求作？請在圖中畫出線段并說明畫法，不必證明；

（2）經(jīng)測量，，，，，若恰為三角形的重心，為（1）中所求線段，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）作圖詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先在上任取一點，分別在平面和平面內(nèi)作的垂線分交、于點、，可得出平面，進(jìn)而得出，然后分兩種情況討論，和，即可作出；

（2）先證明出，根據(jù)重心的性質(zhì)得出三棱錐的體積為三棱錐體積的，利用余弦定理計算出、，進(jìn)而計算出的面積，由此可計算出三棱錐的體積，進(jìn)而得出三棱錐的體積.

（1）如圖，在上任取一點；

過點在平面內(nèi)作的垂線，交于；

過點在平面內(nèi)作的垂線，交于.

連接，若過點，則就是所求線段；

若不過點，則過點作的平行線，與、相交即得線段.

（2）取中點，連、，

因為為三角形的重心，故在上，且.

由題意知，，，，故平面，

平面，，

又，與共面，于是，，

故三棱錐的體積為三棱錐體積的.

，，則為等邊三角形，，

，

在中，由余弦定理得，

整理得，解得或.

若，此時為等腰三角形，，，合乎題意；

若，則，為鈍角，不合乎題意.

同理可得，，

在中，，，，由余弦定理得，

，，

故.