【題目】已知函數(shù)為其定義域內(nèi)的奇函數(shù).

(1)求實數(shù)的值;

(2)求不等式的解集;

(3)證明: 為無理數(shù).

【答案】(1);(2);(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)利用恒成立即可得結(jié)果;(2)利用,考慮函數(shù)的定義域即可得結(jié)果;(3)利用反證法,設(shè),導(dǎo)出矛盾,即得證.

試題解析:(1)因為為其定義域內(nèi)奇函數(shù),

所以 ,

所以

當(dāng)時,對數(shù)無意義,故舍去,

所以

(2)的定義域為

, 得

又因為的定義域為

所以得解集為

(3)

假設(shè)為有理數(shù),則其可以寫成最簡分?jǐn)?shù)形式,而且唯一的,

設(shè)(其中為兩個互質(zhì)的正整數(shù))

,即 (*),

因為為兩個互質(zhì)的正整數(shù),

所以為奇數(shù), 為偶數(shù),顯然奇數(shù)不等于偶數(shù),

所以(*)式不成立…

所以假設(shè)不成立,

所以為無理數(shù)…

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)對一切實數(shù)都有,且當(dāng)時,,又.

(1)判斷該函數(shù)的奇偶性并說明理由;、

(2)試判斷該函數(shù)在上的單調(diào)性;

(3)求在區(qū)間的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某地區(qū)預(yù)計從2015年初開始的第月,商品的價格, ,價格單位:元),且第月該商品的銷售量(單位:萬件).

(1)商品在2015年的最低價格是多少?

(2)2015年的哪一個月的銷售收入最少,最少是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為正常數(shù).

⑴若,且,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;

⑵在⑴中當(dāng)時,函數(shù)的圖象上任意不同的兩點,線段的中點為,記直線的斜率為,試證明:

⑶若,且對任意的, ,都有,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),若

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)畫出函數(shù)的圖象,并說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若,求相應(yīng)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)).

(1)若,求曲線處切線的斜率;

(2)求的單調(diào)區(qū)間;

(3)設(shè),若對任意,均存在,使得,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】高三年級3名男生和1名女生為了報某所大學(xué),事先進(jìn)行了多方詳細(xì)咨詢,并根據(jù)自己的高考成績情況,最終估計3名男生報此所大學(xué)的概率都是,這1名女生報此所大學(xué)的概率是且這4人報此所大學(xué)互不影響。

(Ⅰ)求上述4名學(xué)生中報這所大學(xué)的人數(shù)中男生和女生人數(shù)相等的概率;

(Ⅱ)在報考某所大學(xué)的上述4名學(xué)生中,記為報這所大學(xué)的男生和女生人數(shù)的和,試求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開設(shè)游泳選修課,為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān),該學(xué)校對100名高一新生進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計

男生

10

女生

20

合計

已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為

(1)請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整:并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)?并說明你的理由;

(2)針對于問卷調(diào)查的100名學(xué)生,學(xué)校決定從喜歡游泳的人中按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人成立游泳科普知識宣傳組,并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長,設(shè)這兩人中男生人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

下面的臨界值表僅供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓,圓,動圓與圓外切并與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線.

(1)求的方程;

(2)是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于兩點,當(dāng)圓的半徑最長時,求.

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