Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，已知當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=﹣（x+1）2 ． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，

∴f（0）=0，

若x＜0，則﹣x＞0，

∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=﹣（x+1）2．

∴當(dāng)﹣x＞0時(shí)，f（﹣x）=﹣（﹣x+1）2=﹣（x﹣1）2．

∵f（x）是奇函數(shù)，

∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2=﹣f（x），

則f（x）=（x﹣1）2，x＜0，

則函數(shù)f（x）的解析式f（x）= ；

（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，

則f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），

當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=﹣（x+1）2為減函數(shù)，且f（x）＜﹣1＜f（0），

當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x﹣1）2為減函數(shù)，且f（x）＞1＞f（0），

則函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，

則m2+2m＜﹣m，

即m2+3m＜0，

則﹣3＜m＜0，

即m的取值范圍是（﹣3，0）．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．（Ⅱ）根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題．