Question

【題目】對于無窮數(shù)列，，若，，則稱是的“收縮數(shù)列”.其中，分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知為無窮數(shù)列，其前項和為，數(shù)列是的“收縮數(shù)列”.

（1）若，求的前項和；

（2）證明：的“收縮數(shù)列”仍是；

（3）若且，，求所有滿足該條件的.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3），.

【解析】

（1）根據(jù)可得為遞增數(shù)列，從而可得，利用等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果；（2）可證得，即，則可知，可證得結(jié)論；（3）令猜想可得，，整理可知此數(shù)列滿足題意；利用反證法可證得不存在數(shù)列不滿足，的符合題設(shè)條件，從而可得結(jié)論.

（1）由可得為遞增數(shù)列

由通項公式可知為等差數(shù)列

的前項和為：

（2）

，又

的“收縮數(shù)列”仍是

（3）由可得：

當時，；

當時，，即，所以；

當時，，即（*），

若，則，所以由（*）可得，與矛盾；

若，則，所以由（*）可得

所以與同號，這與矛盾；

若，則，由（*）可得.

猜想：滿足的數(shù)列是：

，

經(jīng)驗證，左式

右式

下面證明其它數(shù)列都不滿足（3）的題設(shè)條件

由上述時的情況可知，時，，是成立的

假設(shè)是首次不符合，的項，則

由題設(shè)條件可得（*）

若，則由（*）式化簡可得與矛盾；

若，則，所以由（*）可得

所以與同號，這與矛盾；

所以，則，所以由（*）化簡可得.

這與假設(shè)矛盾.

所以不存在數(shù)列不滿足，的符合題設(shè)條件

綜上所述：，