【題目】設(shè)三棱錐的每個頂點都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，，，且平面平面.

（1）求球的表面積；

（2）證明：平面平面，且平面平面.

（3）與側(cè)面平行的平面與棱，，分別交于，，，求四面體的體積的最大值.

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）先取的中點,連接.根據(jù),得出的外心為.再因為,則.平面平面,平面平面,所以平面,球心在上.得出是線段上靠近點的一個三等分點.然后求出球的半徑,則得出球的表面積為.

（2）根據(jù)在上,則平面,又平面,則有平面平面.再證平面平面,所以有平面,又平面,即可證得平面平面.

（3）先求到平面的距離.設(shè),到平面的距離為.由平面平面,得到三角形相似,則可得的面積,求出,得到到平面的距離為,則四面體的體積.轉(zhuǎn)化為函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)求得最大值.

（1）解：取的中點,連接.

因為,所以的外心為.

因為,所以.

又平面平面,平面平面,所以平面,

所以在上.

因為是等邊三角形,所以是線段上靠近點的一個三等分點.

由題意得,解得,

所以球的半徑,球的表面積為.

（2）證明：因為在上,所以平面,

又平面,所以平面平面.

連接,則,又平面平面,所以平面,

又平面,所以平面平面.

（3）解：因為,所以到平面的距離.

設(shè),到平面的距離為.

因為平面平面,所以,則的面積為.

又,所以到平面的距離為,

所以四面體的體積.

設(shè),,

當(dāng)時,；當(dāng)時,.

所以,

即四面體的體積的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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（1）求橢圓C的方程；

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（3）在橢圓C外的拋物線K：y2=4x上取一點E，若EF1、EF2的斜率分別為，求的取值范圍．

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【題目】如圖，在四棱錐中，為直角梯形，，，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，為上一點，且.

（1）證明：直線平面；

（2）求二面角的余弦值.

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（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍.

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