如圖,有一邊長為2米的正方形鋼板缺損一角(圖中的陰影部分),邊緣線是以直線為對稱軸,以線段的中點為頂點的拋物線的一部分.工人師傅要將缺損一角切割下來,使剩余的部分成為一個直角梯形.
(Ⅰ)請建立適當?shù)闹苯亲鴺讼,求陰影部分的邊緣線的方程;
(Ⅱ)如何畫出切割路徑,使得剩余部分即直角梯形的面積最大?
并求其最大值.
(I) .(Ⅱ)當時,可使剩余的直角梯形的面積最大,其最大值為.
解析試題分析:(I)以為原點,直線為軸,建立如圖所示的直角坐標系,
依題意
可設(shè)拋物線弧的方程為
∵點的坐標為, ∴,
故邊緣線的方程為.
(Ⅱ)要使梯形的面積最大,則所在的直線必與拋物線弧相切,設(shè)切點坐標為, ∵,
∴直線的的方程可表示為,即 , 由此可求得,.
, ,
設(shè)梯形的面積為,則
. ∴當時,
故的最大值為. 此時.
答:當時,可使剩余的直角梯形的面積最大,其最大值為.
考點:本題主要考查拋物線在實際問題中的應(yīng)用以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
點評:解應(yīng)用題常用的方法是依據(jù)題意建立等量關(guān)系,構(gòu)造數(shù)學模型利用函數(shù)的性質(zhì)進行求解,而有些應(yīng)用題有明顯的幾何意義,可以考慮利用解析法根據(jù)題意建立適當?shù)淖鴺讼,?gòu)造曲線方程,利用曲線的性質(zhì)進行求解.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)且
(Ⅰ)試用含的代數(shù)式表示;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)令,設(shè)函數(shù)在處取得極值,記點,證明:線段與曲線存在異于、的公共點;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(10分)設(shè)函數(shù).
⑴ 求的極值點;
⑵ 若關(guān)于的方程有3個不同實根,求實數(shù)a的取值范圍.
⑶ 已知當恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(14分)設(shè)函數(shù).
(1)當時,求的極值;
(2)當時,求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對任意及,恒有成立,求的取值范圍
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