已知點(diǎn)P（6，8）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點(diǎn)，若
PF1
•
PF2
=0，試求：
（1）橢圓的方程．
（2）求sin∠PF1F2的值．
分析：（1）利用數(shù)量積
PF1
•
PF2
=0，可得（-c-6）（c-6）+64=0，解得c．進(jìn)而得到F1，F(xiàn)2，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2-c2即可得出b2．
（2）如圖所示，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，則|PM|=8，|F1M|=10+6=16，利用勾股定理可得|PF1|，再利用sin∠PF1F2=
|PM|
|PF1|
即可得出．
解答：解：（1）∵
PF1
•
PF2
=0，
∴（-c-6）（c-6）+64=0，解得c=10．
∴F1（-10，0），F(xiàn)2（10，0），
∴2a=|PF1|+|PF2|=
(6+10)2+82
+
(6-10)2+82
=12
5
，
∴a=6
5
，b2=80．
∴橢圓方程為 
x2
180
+
y2
80
=1．
（2）如圖所示，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，則|PM|=8，|F1M|=10+6=16，
∴|PF1|=
|PM|2+|F1M|2
=
162+82
=8
5
，
∴sin∠PF1F2=
|PM|
|PF1|
=
8
8
5
=
5
5
．
點(diǎn)評：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、橢圓的定義域標(biāo)準(zhǔn)方程、勾股定理及其直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P在橢圓
x2
40
+
y2
20
=1上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，△F1PF2是直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有（　�。�
A、2個(gè)B、4個(gè)C、6個(gè)D、8個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有以下命題：①若集合A={1，2}，B={x|x⊆A}，則A∈B；②二項(xiàng)式（2x-3y）5的展開式的各項(xiàng)的系數(shù)和為25；③已知函數(shù)f（x）=2x3-3（a-1）x2+6（a2-8）x+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值是-2或3；④已知點(diǎn)P（x，y）是拋物線y2=-12x的準(zhǔn)線與雙曲線x2-y2=1的兩條漸近線所圍成的三角形區(qū)域（含邊界）內(nèi)的任意一點(diǎn)，則z=2x-y的最大值為9．其中正確命題的序號有
①④
①④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（-4，8，6），則點(diǎn)P關(guān)于平面xoy對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　�。�
A、（-4，-8，6）B、（-4，8，-6）C、（4，-8，-6）D、（4，-8，6）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

有以下命題：①若集合A={1，2}，B={x|x⊆A}，則A∈B；②二項(xiàng)式（2x-3y）5的展開式的各項(xiàng)的系數(shù)和為25；③已知函數(shù)f（x）=2x3-3（a-1）x2+6（a2-8）x+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值是-2或3；④已知點(diǎn)P（x，y）是拋物線y2=-12x的準(zhǔn)線與雙曲線x2-y2=1的兩條漸近線所圍成的三角形區(qū)域（含邊界）內(nèi)的任意一點(diǎn)，則z=2x-y的最大值為9．其中正確命題的序號有________．

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