Question

已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為實(shí)數(shù)，.
（Ⅰ）若在區(qū)間［-1，1］上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）或（Ⅲ）時極值點(diǎn)個數(shù)0，當(dāng)時兩個極值點(diǎn)

試題分析：（Ⅰ）由已知得，，        1分
由得.
，當(dāng)時，遞增；
當(dāng)時，，遞減.
在區(qū)間［-1，1］上的最大值為.      2分
又.
由題意得，即，得為所求。        4分
（Ⅱ）解：由（1）得，點(diǎn)P（2，1）在曲線上。
當(dāng)切點(diǎn)為P（2，1）時，切線的斜率，
的方程為.      5分
當(dāng)切點(diǎn)P不是切點(diǎn)時，設(shè)切點(diǎn)為切線的余率，
的方程為。又點(diǎn)P（2，1）在上，，
，
.切線的方程為.
故所求切線的方程為或.              8分
（Ⅲ）解：.
.
.
二次函數(shù)的判別式為
得：
.令，得，或。        10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014640327725.png" style="vertical-align:middle;" />，
時，，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個數(shù)0；   11分
當(dāng)時，此時方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，
可知函數(shù)有兩個極值點(diǎn).                12分
點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處的切線斜率，利用幾何意義在求解第二問時需分點(diǎn)是否在曲線上兩種情況；函數(shù)在閉區(qū)間上的最值出現(xiàn)在極值點(diǎn)或區(qū)間的邊界處，函數(shù)存在極值需滿足函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值有正有負(fù)