Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，求k的取值范圍；并證明：

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）k=2時(shí)，f（x）=|x²-1|+x²+2x，從而討論求方程f（x）=0的解；
（2）不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，則化簡f（x）=|x²-1|+x²+kx=

2x2+kx-1，(|x|≥1) kx+1，(|x|＜1)

；從而可確定0＜x₁＜1≤x₂＜2；從而可得kx₁+1=0，2x²+kx-1=0；從而求k的取值范圍并證明

1

x1

+

1

x2

＜4．

解答： 解：（1）k=2時(shí)，f（x）=|x²-1|+x²+2x，
當(dāng)|x|≥1時(shí)，f（x）=2x²+2x-1，
由f（x）=2x²+2x-1=0得，
x=

-1- 3

2

，x=

-1+ 3

2

（舍去），
當(dāng)|x|＜1時(shí)，f（x）=2x+1，
由2x+1=0得x=-

1

2

； 
故當(dāng)k=2時(shí)，方程f（x）=0的解是x=

-1- 3

2

或x=-

1

2

．    
（2）不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
∵f（x）=|x²-1|+x²+kx=

2x2+kx-1，(|x|≥1) kx+1，(|x|＜1)

；　　　　    　
若x₁，x₂∈[1，2），與x₁x₂=-

1

2

矛盾，
則0＜x₁＜1≤x₂＜2；
則kx₁+1=0  ①，2x²+kx-1=0  ②；
由①得：k=-

1

x1

＜-1，
由②得：k=

1

x2

-2x₂∈（-

7

2

，-1]；　
∴k的取值范圍是（-

7

2

，-1）；                               
聯(lián)立①、②消去k得：
2

x

2 2

-

1

x1

x₂-1=0；
即

1

x1

+

1

x2

＜2x₂＜4．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．