【題目】如圖，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一點(diǎn)．

（I）求證： ．

（II）若， 分別是， 的中點(diǎn)，求證： ∥平面．

（III）若二面角的大小為，求線段的長(zhǎng)

【答案】（I）見解析（II）見解析（III）

【解析】試題分析：

（1）∵平面，∴．又，所以面．從而（2）欲證線面平行，轉(zhuǎn)證即可，（3））以為原點(diǎn)， ， ， 分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系．

求出法向量，帶入公式即可.

試題解析：

（I）∵平面， 面，

∴．

∵， ，

∴中， ，

∴．

∵，

∴面．

∵面，

∴．

（II）連接交于點(diǎn)．

∵四邊形是平行四邊形，

∴是的中點(diǎn)．

又∵， 分別是， 的中點(diǎn)，

∴，且，

∴四邊形是平行四邊形，

∴．

又平面， 面，

∴平面．

（III）∵，且平面，

∴， ， 兩兩垂直。

以為原點(diǎn)， ， ， 分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則， ， ， ，

∴， ， ．

設(shè)平面的法向量為，

故， ，

則有，令，則，

又平面的法向量為．

∵二面角的大小為，

∴，

解得，即，

，

∴．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】連接球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦，半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別為2 和4 ，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，兩條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下面四個(gè)命題：
①弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M；
②弦AB、CD可能相交于點(diǎn)N；
③MN的最大值是5；
④MN的最小值是1；
其中所有正確命題的序號(hào)為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)不等式組 所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n ， 記Dn內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為f（n）（n∈N*）．
（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)bn=2nf（n），Sn為{bn}的前n項(xiàng)和，求Sn；
（3）記 ，若對(duì)于一切正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1 ． 求證：

（1）直線DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

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【題目】已知n∈N* ， 設(shè)Sn是單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1= 且S2+a2 ， S4+a4 ， S3+a3成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Tn ， 求證：對(duì)于任意正整數(shù)n， ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)f（k）是滿足不等式log2x+log2（52k﹣1﹣x）≥2k（k∈N*）的自然數(shù)x的個(gè)數(shù)．
（1）求f（k）的函數(shù)解析式；
（2）Sn=f（1）+2f（2）+…+nf（n），求Sn ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】雖然吸煙有害健康，但是由于歷史以及社會(huì)的原因，吸煙也是部分公民交際的重要媒介．世界衛(wèi)生組織1987年11月建議把每年的4月7日定為世界無煙日，且從1989年開始，世界無煙日改為每年的5月31日．某報(bào)社記者專門對(duì)吸煙的市民做了戒煙方面的調(diào)查，經(jīng)抽樣只有的煙民表示愿意戒煙，將頻率視為概率．

（1）從該市吸煙的市民中隨機(jī)抽取3位，求至少有一位煙民愿意戒煙的概率；

（2）從該市吸煙的市民中隨機(jī)抽取4位， 表示愿意戒煙的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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【題目】選修4-5：不等式選講

定義在上的函數(shù)，若，有，則稱函數(shù)為定義在上的非嚴(yán)格單增函數(shù)；若，有，則稱函數(shù)為定義在上的非嚴(yán)格單減函數(shù).已知： .

（1）若函數(shù)為定義在上的非嚴(yán)格單增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（2）若函數(shù)為定義在上的非嚴(yán)格單減函數(shù)，試解不等式.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量 =（ ，﹣ ）， =（sinx，cosx），x∈（0， ）．
（1）若 ⊥ ，求tanx的值；
（2）若 與 的夾角為 ，求x的值．

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