【題目】如圖,在三棱柱中,四邊形均為正方形,且,M的中點(diǎn),N的中點(diǎn).

1)求證:平面ABC;

2)求二面角的正弦值;

3)設(shè)P是棱上一點(diǎn),若直線PM與平面所成角的正弦值為,求的值

【答案】1)證明過程見詳解;(2;(3.

【解析】

1)先取中點(diǎn)為,連接,,根據(jù)面面平行的判定定理,得到平面平面,進(jìn)而可得平面ABC;

2)先由題意,得到,,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)邊長為,分別求出平面和平面的一個(gè)法向量,根據(jù)向量夾角公式,求解,即可得出結(jié)果;

3)先設(shè),得到,根據(jù)空間向量的夾角公式,列出等式求解,即可得出結(jié)果.

1)取中點(diǎn)為,連接,

因?yàn)?/span>的中點(diǎn),的中點(diǎn),

所以,

平面平面,,

所以平面平面,

平面,

所以平面ABC;

2)因?yàn)樗倪呅?/span>,均為正方形,所以,,兩兩垂直,

為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)邊長為,則,,,

所以,,

因此,,,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,所以,令,則

因此;

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

,所以,令,則,

因此

設(shè)二面角的大小為,

,

所以

3)因?yàn)?/span>是棱上一點(diǎn),設(shè),則,

所以

由(2)知,平面的一個(gè)法向量為,

又直線與平面所成角的正弦值為,記直線與平面所成角為

則有,

整理得,解得(舍)

所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為軸上方的點(diǎn)在拋物線上,且,直線與拋物線交于,兩點(diǎn)(點(diǎn),不重合),設(shè)直線,的斜率分別為,.

(Ⅰ)求拋物線的方程;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:直線恒過定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓,為橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓的右焦點(diǎn)為,橢圓的離心率為.

1)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且,求的值;

2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于,(其中,分別在軸的上、下方)兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),記、的面積分別為、,求的最小值,并求此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展和人們消費(fèi)觀念的不斷提升,越來越多的人日益喜愛旅游觀光.某人想在20195月到某景區(qū)旅游觀光,為了避開旅游高峰擁擠,方便出行,他收集了最近5個(gè)月該景區(qū)的觀光人數(shù)數(shù)據(jù)見下表:

月份

2018.12

2019.1

2019.2

2019.3

2019.4

月份編號

1

2

3

4

5

旅游觀光人數(shù)(百萬人)

0.5

0.6

1

1.4

1.7

1)由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合旅游觀光人數(shù)少(百萬人)與月份編號之間的相關(guān)關(guān)系,請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測20195月景區(qū)的旅游觀光人數(shù).

2)當(dāng)?shù)芈糜尉譃榱祟A(yù)測景區(qū)給當(dāng)?shù)氐呢?cái)政帶來的收入狀況,從20194月的旅游觀光人群中隨機(jī)抽取了200人,并對他們旅游觀光過程中的開支情況進(jìn)行了調(diào)查,得到如下頻率分布表:

開支金額(千元)

頻數(shù)

10

30

40

60

30

20

10

若采用分層抽樣的方法從開支金額低于4千元的游客中抽取8人,再在這8人中抽取3人,記這3人中開支金額低于3千元的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(參考公式:,其中,.)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2020年春節(jié)期間,全國人民都在抗擊新型冠狀病毒肺炎的斗爭中.當(dāng)時(shí)武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護(hù)物資庫存不足,某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機(jī),南昌某生產(chǎn)商現(xiàn)有一批庫存的醫(yī)用防護(hù)物資,得知消息后,立即決定無償捐贈這批醫(yī)用防護(hù)物資,需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運(yùn)至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇,且選擇兩條路線所用的時(shí)間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)2000輛汽車,通過這兩條路線從南昌到武漢所用時(shí)間的頻數(shù)分布表如下:

所用的時(shí)間(單位:小時(shí))

路線1的頻數(shù)

200

400

200

200

路線2的頻數(shù)

100

400

400

100

假設(shè)汽車A只能在約定交貨時(shí)間的前5小時(shí)出發(fā),汽車B只能在約定交貨時(shí)間的前6小時(shí)出發(fā)(將頻率視為概率).為最大可能在約定時(shí)間送達(dá)這批物資,來確定這兩車的路線.

1)汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路線.

2)若路線1、路線2一次性費(fèi)用分別為3.2萬元、1.6萬元,且每車醫(yī)用物資生產(chǎn)成本為40萬元(其他費(fèi)用忽略不計(jì)),以上費(fèi)用均由生產(chǎn)商承擔(dān),作為援助金額的一部分.根據(jù)這兩輛車到達(dá)時(shí)間分別計(jì)分,具體規(guī)則如下(已知兩輛車到達(dá)時(shí)間相互獨(dú)立,互不影響):

到達(dá)時(shí)間與約定時(shí)間的差x(單位:小時(shí))

該車得分

0

1

2

生產(chǎn)商準(zhǔn)備根據(jù)運(yùn)輸車得分情況給出現(xiàn)金排款,兩車得分和為0,捐款40萬元,兩車得分和每增加1分,捐款增加20萬元,若汽車A、B用(1)中所選的路線運(yùn)輸物資,記該生產(chǎn)商在此次援助活動中援助總額為Y(萬元),求隨機(jī)變量Y的期望值,(援助總額一次性費(fèi)用生產(chǎn)成本現(xiàn)金捐款總額)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn),以為圓心作半徑為的圓,圓軸的負(fù)半軸交于點(diǎn),與拋物線分別交于點(diǎn).

1)若為直角三角形,求半徑的值;

2)判斷直線與拋物線的位置關(guān)系,并給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為,直線與拋物線交于兩點(diǎn).到準(zhǔn)線的距離之和最小為8.

1)求拋物線方程;

2)若拋物線上一點(diǎn)縱坐標(biāo)為,直線分別交準(zhǔn)線于.求證:以為直徑的圓過焦點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲乙兩位同學(xué)玩游戲,對于給定的實(shí)數(shù),按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù):由甲、乙同時(shí)各擲一枚均勻的硬幣,如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上,則把乘以2后再減去6;如果出現(xiàn)一個(gè)正面朝上,一個(gè)反面朝上,則把除以2后再加上6,這樣就可得到一個(gè)新的實(shí)數(shù),對實(shí)數(shù)仍按上述方法進(jìn)行一次操作,又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),甲獲勝,否則乙獲勝,若甲勝的概率為,則的取值范圍是____

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