Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知縱坐標(biāo)不同的兩點(diǎn)，為橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得，求得、即可得解；

（2）由題意設(shè)直線方程為，點(diǎn)，，，直線的斜率為，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式即可得解.

（1）∵橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，

∴，解得，，

∴橢圓的方程為；

（2）依題意知直線過(guò)點(diǎn)，且斜率不為0，

故可設(shè)其方程為，

由，消去得，，

設(shè)點(diǎn)，，，直線的斜率為，

故，∴，∴，

又點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

∴，∴，

∴且；

綜上所述，直線的斜率的取值范圍是．