Question

【題目】已知左、右焦點(diǎn)分別為的橢圓過點(diǎn)，且橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)．

(I)求橢圓C的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程。

(II)圓與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，R為線段AB上任一點(diǎn)，直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若AB為圓的直徑，且直線的斜率大于1，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) .

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓C過點(diǎn)，∵橢圓C關(guān)于直線x＝c對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)，推出a＝2c，然后求解橢圓C的離心率，標(biāo)準(zhǔn)方程．

（Ⅱ）設(shè)A（），B（），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及平方差法求出AB的斜率，得到直線AB的方程，代入橢圓C的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)F1R：y＝k（x+1），聯(lián)立，設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4），利用韋達(dá)定理，結(jié)合，，化簡(jiǎn)|PF1||QF1|，通過，求解|PF1||QF1|的取值范圍．

(Ⅰ)∵橢圓過點(diǎn)，∴，①

∵橢圓關(guān)于直線對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴，

∵，∴，②

由①②得，，

∴橢圓的離心率，標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)因?yàn)?/span>為圓的直徑，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，

設(shè)，，則，，又，

所以，則，故，則直線的方程為，即.代入橢圓的方程并整理得，

則，故直線的斜率.

設(shè)，由，得，

設(shè)，，則有，.

又，，

所以=，

因?yàn)?/span>，所以，

即的取值范圍是.