已知函數(shù)
,(
).
(1)若
有最值,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)當(dāng)
時,若存在
、
,使得曲線
在
與
處的切線互相平行,求證:
.
(1)
;(2)證明過程詳見解析.
試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、基本不等式等基礎(chǔ)知識,考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生的計算能力、轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力.第一問,先對
求導(dǎo),再討論
方程的判別式,第一種情況
,第二種情況
且
,第三種情況
且
,數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)
在定義域
上是否有最值;第二問,由于
在
與
處的切線互相平行,所以2個切線的斜率相等,得到關(guān)系式,利用基本不等式和不等式的性質(zhì)證明結(jié)論.
試題解析:(1)
,
由
知,
①當(dāng)
時,
,
在
上遞增,無最值;
②當(dāng)
時,
的兩根均非正,因此,
在
上遞增,無最值;
③當(dāng)
時,
有一正根
,
在
上遞減,在
上遞增;此時,
有最小值;
所以,實數(shù)
的范圍為
. 7分
(2)證明:依題意:
,
由于
,且
,則有
. 12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
.
(1)當(dāng)
時,求函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)
時,求函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值;
(3)記函數(shù)
圖象為曲線
,設(shè)點(diǎn)
,
是曲線
上不同的兩點(diǎn),點(diǎn)
為線段
的中點(diǎn),過點(diǎn)
作
軸的垂線交曲線
于點(diǎn)
.試問:曲線
在點(diǎn)
處的切線是否平行于直線
?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如圖,△OAB是邊長為2的正三角形,記△OAB位于直線
左側(cè)的圖形的面積為
,則
(1)函數(shù)
的解析式為_______;
(2)函數(shù)
的圖像在點(diǎn)P(t
0,f(t
0))處的切線的斜率為
,則t
0=____________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
,其圖象與
軸交于
,
兩點(diǎn),且
x1<
x2.
(1)求
的取值范圍;
(2)證明:
(
為函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù));
(3)設(shè)點(diǎn)
C在函數(shù)
的圖象上,且△
ABC為等腰直角三角形,記
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
,
.
(1)若直線
恰好為曲線
的切線時,求實數(shù)
的值;
(2)當(dāng)
,
時(其中無理數(shù)
),
恒成立,試確定實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知
(1)當(dāng)
時,求
的極大值點(diǎn);
(2)設(shè)函數(shù)
的圖象
與函數(shù)
的圖象
交于
、
兩點(diǎn),過線段
的中點(diǎn)做
軸的垂線分別交
、
于點(diǎn)
、
,證明:
在點(diǎn)
處的切線與
在點(diǎn)
處的切線不平行.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
(1)若關(guān)于x的不等式
在
有實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)設(shè)
,若關(guān)于x的方程
至少有一個解,求p的最小值.
(3)證明不等式:
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)
為實數(shù),函數(shù)
.
(1)求
的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)求證:當(dāng)
且
時,
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
(其中
),
,已知它們在
處有相同的切線.
(1)求函數(shù)
,
的解析式;
(2)求函數(shù)
在
上的最小值;
(3)若對
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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