【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=ax﹣1(a>0,且a≠1).
(1)求f(2)+f(﹣2)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)解關(guān)于x的不等式f(x)<4,結(jié)果用集合或區(qū)間表示.
【答案】
(1)解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(﹣2)=﹣f(2),即f(2)+f(﹣2)=0
(2)解:設(shè)x<0,則﹣x>0,∴f(﹣x)=a﹣x﹣1.
由f(x)是奇函數(shù),有f(﹣x)=﹣f(x),∵f(﹣x)=a﹣x﹣1,
∴f(x)=﹣a﹣x+1(x<0),∴所求的解析式為
(3)解:不等式等價于 ,
即 ,即 .
當(dāng)a>1時,有 ,∵loga5>0,所以不等式的解集為(﹣∞,loga5);
當(dāng)0<a<1時,有 ,∵loga5<0,所以不等式的解集為(﹣∞,0).
綜上所述,當(dāng)a>1時,不等式的解集為(﹣∞,loga5);
當(dāng)0<a<1時,不等式的解集為(﹣∞,0)
【解析】(1)根據(jù)題意可得f(﹣2)=﹣f(2),即f(2)+f(﹣2)=0.(2)設(shè)x<0,則﹣x>0,根據(jù)f(﹣x)=a﹣x﹣1=﹣f(x),求得f(x)的解析式.(3)分類討論a的范圍,利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式f(x)<4的解集.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線: .
(Ⅰ)求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若與相交于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn),求的值.
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【題目】已知點(diǎn)在圓上, 的坐標(biāo)分別為, ,線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)圓與點(diǎn)的軌跡交于不同的四個點(diǎn),求四邊形的面積的最大值及相應(yīng)的四個點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個結(jié)論中:
(1)如果兩個函數(shù)都是增函數(shù),那么這兩個函數(shù)的積運(yùn)算所得函數(shù)為增函數(shù);
(2)奇函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),則f(x)在R上為增函數(shù);
(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一個;
(4)若函數(shù)f(x)的最小值是a,最大值是b,則f(x)值域為[a,b].
其中正確結(jié)論的序號為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計算下列各式的值:
(1) ﹣( )0+( )﹣0.5+ ;
(2)lg500+lg ﹣ lg64+50(lg2+lg5)2 .
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最大值及其對應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形的對角線與相交于點(diǎn),四邊形為矩形,平面平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若點(diǎn)在線段上,且,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的左焦點(diǎn)F為圓的圓心,且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為。
(I)求橢圓C的方程;
(II)已知經(jīng)過點(diǎn)F的動直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)M坐標(biāo)為(),證明: 為定值。
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