【題目】已知橢圓C： ，點(diǎn)P（4，0），過右焦點(diǎn)F作與y軸不垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求證：以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切．

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a=2，b= ，c=1，

則橢圓的離心率公式e= = ，

∴橢圓C的離心率 ；

（Ⅱ）證明：由c=1，則焦點(diǎn)F（1，0），當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程x=1，

A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則P（4，0）在x軸上，

∴直線PA與直線PB關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)O到直線PA的距離與到PB的距離相等，

∴以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切，

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

由韋達(dá)定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

由kPA= = ，kPB= = ，

則kPA+kPB= + = = =0，

∴∠APO=∠BPO，則點(diǎn)O到直線PA和直線PB的距離相等，

∴以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切．


【解析】（Ⅰ）由橢圓方程，求得a和c的值，即可求得橢圓的離心率；（2）分類討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式可知kPA+kPB=0，即可證明以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）． （Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B在拋物線C上，直線PA，PB分別與y軸交于點(diǎn)M，N，|PM|=|PN|．求直線AB的斜率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ex（x+1），給出下列命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；
②函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；
③f（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
④x1 ， x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見》，某校計(jì)劃開設(shè)八門研學(xué)旅行課程，并對(duì)全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查（調(diào)查要求全員參與，每個(gè)學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程）．本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下．圖中，已知課程A，B，C，D，E為人文類課程，課程F，G，H為自然科學(xué)類課程．為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向，結(jié)合圖表，采取分層抽樣方法從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組（以下簡稱“組M”）．
（Ⅰ）在“組M”中，選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少？
（Ⅱ）為參加某地舉辦的自然科學(xué)營活動(dòng)，從“組M”所有選擇自然科學(xué)類課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往，其中選擇課程F或課程H的同學(xué)參加本次活動(dòng)，費(fèi)用為每人1500元，選擇課程G的同學(xué)參加，費(fèi)用為每人2000元．
（�。┰O(shè)隨機(jī)變量X表示選出的4名同學(xué)中選擇課程G的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；
（ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量Y表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營的費(fèi)用總和，求隨機(jī)變量Y的期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中．點(diǎn)M不與點(diǎn)O重合，稱射線OM與圓x2+y2=1的交點(diǎn)N為點(diǎn)M的“中心投影點(diǎn)“． ⑴點(diǎn)M（1， ）的“中心投影點(diǎn)”為
⑵曲線x2 上所有點(diǎn)的“中心投影點(diǎn)”構(gòu)成的曲線的長度是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對(duì)角線BD折起到△B'CD的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=2 ，如圖2．
（1）求證：FA∥平面BC'D；
（2）求平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值；
（3）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得C'M⊥平面FBC？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中， ，AB=AC=AA1=1，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn)，D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍為（ ）
A.[ ，1）
B.[ ，1]
C.（ ，1）
D.[ ，1）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) (m,n∈R)在x=1處取得極值2.
（1）求f(x)的解析式；
（2）k為何值時(shí)，方程f(x)-k=0只有1個(gè)根
（3）設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2ax+a，若對(duì)于任意x1∈R，總存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范圍

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= 若f（2﹣a2）＞f（a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案