在直角坐標系中,已知一個圓心在坐標原點,半徑為2的圓,從這個圓上任意一點Py軸作垂線段PP′,P′為垂足.
(1)求線段PP′中點M的軌跡C的方程;
(2)過點Q(-2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點,設(shè)N是過點,且以為方向向量的直線上一動點,滿足O為坐標原點),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
(1)軌跡C的方程為
(2)存在直線l使四邊形OANB為矩形,直線l的方程為
(1)設(shè)M(x,y)是所求曲線上的任意一點,Px1,y1)是方程x2 +y2 =4的圓上的任意一點,則
則有:得,
軌跡C的方程為 
(1)當直線l的斜率不存在時,與橢圓無交點.
所以設(shè)直線l的方程為y = k(x+2),與橢圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點,N點所在直線方程為

由△=
 …   
,∴四邊形OANB為平行四邊形
假設(shè)存在矩形OANB,則,即,
,
于是有   得 … 設(shè),
即點N在直線上.
∴存在直線l使四邊形OANB為矩形,直線l的方程為
練習冊系列答案
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