Question

已知橢圓W的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點(diǎn)為，過(guò)左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）求證： ()；
（Ⅲ）求面積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓W的方程為
（Ⅱ）見(jiàn)解析
（Ⅲ）面積的最大值為

（Ⅰ）設(shè)橢圓W的方程為，由題意可知
解得，，，
所以橢圓W的方程為．……………………………………………4分
（Ⅱ）解法1：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.于是可設(shè)直線 的方程為．
得.
由直線與橢圓W交于、兩點(diǎn)，可知
，解得．
設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，,
則，，，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823134151709323.gif" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823134151756678.gif" style="vertical-align:middle;" />



，
所以．   ……………………………………………………………10分
解法2：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.
于是可設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，,
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．
由橢圓的第二定義可得
,
所以，，三點(diǎn)共線，即．…………………………………10分
(Ⅲ)由題意知



，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，
所以面積的最大值為．