【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCDADAB,ABDC,ADDCAP2,AB1,點E為棱PC的中點.

(1)證明:BEDC

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;

(3)F為棱PC上一點,滿足BFAC,求二面角FABP的余弦值.

【答案】(1)見解析(2) (3)

【解析】試題分析:(I)以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,求出BE,DC的方向向量,根據(jù)

,可得BEDC;(II)求出平面PBD的一個法向量,代入向量夾角公式,可得直線BE與平面PBD所成角的正弦值;()根據(jù)BFAC,求出向量的坐標,進而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夾角公式,可得二面角F-AB-P的余弦值

試題解析:方法一:依題意,以點A為原點建立空間直角坐標系(如圖所示),可得B10,0),C22,0),D0,2,0),P0,0,2).CE為棱PC的中點,得E11,1).

1)證明:向量=(01,1),=(20,0),

0

所以BE⊥DC.

2)向量=(-1,2,0),=(1,0,-2).

n=(x,yz)為平面PBD的法向量,

不妨令y1,可得n=(21,1)為平面PBD的一個法向量.于是有

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.

3) 向量=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(22,0),=(10,0).

由點F在棱PC上,設λ0≤λ≤1.

λ=(1,2,).由BFAC,得0,因此21)+22)=0,解得λ,即.n1=(x,y,z)為平面FAB的法向量,不妨令z1,可得n1=(0,-3,1)為平面FAB的一個法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,10),則

cosn1,n2〉==-.

易知二面角F AB P是銳角,所以其余弦值為.

方法二:(1)證明:如圖所示,取PD中點M,連接EMAM.由于E,M分別為PC,PD的中點,故EMDC,且EMDC.又由已知,可得EMABEMAB,故四邊形ABEM為平行四邊形,所以BEAM.

因為PA⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥DA,從而CD⊥平面PAD.因為AM平面PAD,所以CD⊥AM.BE∥AM,所以BE⊥CD.

2)連接BM,由(1)有CD⊥平面PAD,得CD⊥PD.EM∥CD,故PD⊥EM.又因為ADAPMPD的中點,所以PD⊥AM,可得PD⊥BE,所以PD⊥平面BEM,故平面BEM⊥平面PBD,所以直線BE在平面PBD內的射影為直線BM.BE⊥EM,可得∠EBM為銳角,故∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角.

依題意,有PD2,而MPD中點,可得AM,進而BE.故在直角三角形BEM中,tanEBM,因此sinEBM,

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.

3)如圖所示,在△PAC中,過點FFH∥PAAC于點H.因為PA⊥底面ABCD,所以FH⊥底面ABCD,從而FH⊥AC.BF⊥AC,得AC⊥平面FHB,因此AC⊥BH.在底面ABCD內,可得CH3HA,從而CF3FP.在平面PDC內,作FG∥DCPD于點G,于是DG3GP.由于DC∥AB,故GF∥AB,所以A,BF,G四點共面.由AB⊥PA,AB⊥AD,得AB⊥平面PAD,故AB⊥AG,所以∠PAG為二面角F AB P的平面角.

PAG中,PA2,PGPD,APG45°.由余弦定理可得AGcosPAG,所以二面角F AB P的余弦值為.

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