【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx1,g(x)=x33tx+1(t>0).
(1)當(dāng)a時,求f(x)在區(qū)間[,e]上的最值;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)若g(x)≤xex﹣m+2(e為自然對數(shù)的底數(shù))對任意x∈[0,+∞)恒成立時m的最大值為1,求t的取值范圍.
【答案】(1)最小值,最大值為 (2)見解析 (3)(0,]
【解析】
(1)當(dāng)a時,求出,解不等式,進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)極值,即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)(或)能否恒成立對分類討論,若恒成立,得到單調(diào)區(qū)間,若不恒成立,求出,即可求出單調(diào)區(qū)間;
(3)將所求的不等式分離參數(shù),得到m-1≤(ex﹣x2對x∈[0,+∞)恒成立,且m的最大值為1,即恒成立,構(gòu)造函數(shù),求出最小值,即可求解.
(1)當(dāng)a時,f(x)lnx1,
∴f′(x),(x>0),
當(dāng)x時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(1,e]時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
故當(dāng)x=1時,f(x)取得最小值f(1),
∵f(e),f(),
∴f(e)>f(),
故函數(shù)的最大值為f(e),
(2)∵f′(x),
①當(dāng)a+1≥0即a≥﹣1時,f′(x)>0恒成立,
故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
②當(dāng)a+1<0即a<﹣1時,x,f′(x)>0,
x,f′(x)<0成立,
故f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,
故f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞減.
綜上:當(dāng)a≥﹣1時,的遞增區(qū)間是
當(dāng)a<﹣1時,f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,),
單調(diào)遞減區(qū)間是(,+∞).
(3)∵g(x)≤xex﹣m+2對任意x∈[0,+∞)恒成立時m的最大值為1,
∴x33tx+1≤xex﹣m+2對任意x∈[0,+∞)恒成立,
∴m-1≤xex﹣x33tx=(ex﹣x2
對任意x∈[0,+∞)恒成立,且m的最大值為1,
令g(x)=ex﹣x2,,
令,∴,
當(dāng)x∈(0,ln2)時,h′(x)=ex﹣2<0,h(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(ln2,+∞)時,h′(x)=ex﹣2>0,h(x)單調(diào)遞增,
,故,
故g(x)單調(diào)遞增,g(x)≥g(0)=1﹣3t≥0,∴0<t
即t的取值范圍(0,].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地在國慶節(jié)天假期中的樓房認(rèn)購量(單位:套)與成交量(單位:套)的折線圖如圖所示,小明同學(xué)根據(jù)折線圖對這天的認(rèn)購量與成交量作出如下判斷:①成交量的中位數(shù)為;②認(rèn)購量與日期正相關(guān);③日成交量超過日平均成交量的有天,則上述判斷中正確的個數(shù)為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年年底,三部進(jìn)口影片登錄銀屏,包括《海王》,《龍貓》和《蜘蛛俠》,經(jīng)過了解,電影比《蜘蛛俠》早上映一周,電影的票房比《龍貓》高,《蜘蛛俠》的票房比電影低,據(jù)此可以判斷( )
A.是《海王》,是《蜘蛛俠》,是《龍貓》
B.是《蜘蛛俠》,是《龍貓》,是《海王》
C.是《龍貓》,是《海王》,是《蜘蛛俠》
D.是《龍貓》,是《蜘蛛俠》,是《海王》
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】回收1噸廢紙可以生產(chǎn)出0.8噸再生紙,可能節(jié)約用水約100噸,節(jié)約用煤約1.2噸,回收1噸廢鉛蓄電池可再生鉛約0.6噸,可節(jié)約用煤約0.8噸,節(jié)約用水約120噸,回收每噸廢鉛蓄電池的費(fèi)用約0.9萬元,回收1噸廢紙的費(fèi)用約為0.2萬元.現(xiàn)用于回收廢紙和廢鉛蓄電池的費(fèi)用不超過18萬元,在保證節(jié)約用煤不少于12噸的前提下,最多可節(jié)約用水約__________噸.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).
(1)證明:BE⊥DC;
(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F為棱PC上一點(diǎn),滿足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, ).
(1)如果曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求, 的值;
(2)若, ,關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且只有一個,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.
(1)直線l與曲線C是否有公共點(diǎn)?并說明理由;
(2)若直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A,B,點(diǎn)P是曲線C上的一點(diǎn),求△PAB的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若橢圓:與橢圓:滿足,則稱這兩個橢圓相似,叫相似比.若橢圓與橢圓相似且過點(diǎn).
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)過點(diǎn)作斜率不為零的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、,為橢圓的右焦點(diǎn),直線、分別交橢圓于點(diǎn)、,設(shè),,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)我市房地產(chǎn)數(shù)據(jù)顯示,今年我市前5個月新建住宅銷售均價(jià)逐月上升,為抑制房價(jià)過快上漲,政府從6月份開始推出限價(jià)房等宏觀調(diào)控措施,6月份開始房價(jià)得到很好的抑制,房價(jià)回落.今年前10個月的房價(jià)均價(jià)如表:
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
均價(jià)y(萬元/平方米) | 0.83 | 0.95 | 1.00 | 1.05 | 1.17 | 1.15 | 1.10 | 1.06 | 0.98 | 0.94 |
地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn),從1月份至5月份的各月均價(jià)y(萬元/平方米)與x之間具有正線性相關(guān)關(guān)系,從6月份至10月份的各月均價(jià)y(萬元/平方米)與x之間具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系.
(1)若政府不調(diào)控,根據(jù)前5個月的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的回歸直線方程,并預(yù)測12月份的房地產(chǎn)均價(jià).(精確到0.01)
(2)政府調(diào)控后,從6月份至10月份的數(shù)據(jù)可得到y與x的回歸直線方程為:.由此預(yù)測政府調(diào)控后12月份的房地產(chǎn)均價(jià).說明政府調(diào)控的必要性.(精確到0.01);;
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