已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點為F(0,1).

(1)求拋物線C的方程;
(2)過點F作直線交拋物線C于A,B兩點,若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點,求|MN|的最小值.

(1) x2=4y   (2)

解析解:(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則
=1,所以拋物線C的方程為x2=4y.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+1.
消去y,整理得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.從而|x1-x2|=4.

解得點M的橫坐標xM===.
同理,點N的橫坐標xN=.
所以|MN|=|xM-xN|=
=8
=.
令4k-3=t,t≠0,則k=.
當t>0時,|MN|=2>2.
當t<0時,|MN|=2.
綜上所述,當t=-,即k=-時,|MN|的最小值是.

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