Question

【題目】已知函數(shù).（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）若恒成立，求的最大值；

（2）設(shè)，若存在唯一的零點(diǎn)，且對滿足條件的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）就三種情況利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性及其相應(yīng)的最小值后可得：時(shí)，成立，時(shí)，成立，對后一種情況構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求的最大值即可.

（2）求出，它是一個(gè)減函數(shù)且值域，故存在唯一的零點(diǎn)，再由題設(shè)條件可以得到，，用表示后可把不等式化為，構(gòu)建新函數(shù)，就兩類情況利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性后可得實(shí)數(shù)的取值，注意后者的進(jìn)一步討論以與的大小為分類標(biāo)準(zhǔn).

（1），

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，取，

當(dāng)時(shí)，矛盾；

當(dāng)時(shí)，，

只要，即，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，令，，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

，

所以，即，

此時(shí)，

令，，

令，，

當(dāng)，，在上為增函數(shù)；

當(dāng)，，在上為減函數(shù)．

所以，所以，故的最大值為．

（2）在單調(diào)遞減且在的值域?yàn)?/span>，

設(shè)的唯一的零點(diǎn)為，則，，

即

所以，，

由恒成立，則，

得在上恒成立．

令，，

．

若，，在上為增函數(shù)，注意到，知當(dāng)時(shí)，，矛盾；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，

若，則當(dāng)時(shí)，，，為減函數(shù)，

所以時(shí)，總有，矛盾；

若，則當(dāng)時(shí)，，，為增函數(shù)，

所以時(shí)，總有，矛盾；

所以即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，，

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，而，

所以有唯一的零點(diǎn).

綜上，的取值集合為 ．