【題目】已知函數(shù)(常數(shù)).
(1)證明:當時,函數(shù)有且只有一個極值點;
(2)若函數(shù)存在兩個極值點,證明:.
【答案】(1)(2)均見解析.
【解析】
試題分析:(1)求導得,令,則,當時,討論函數(shù)的符號,可得在有且只有一個零點,所以函數(shù)在有且只有一個極值點;(2)函數(shù)存在兩個極值點,則,是的兩個零點,且由(1)知,必有,討論的符號可得在單調遞增,在單調遞減,又因為,所以有,由,得,此時,通過導數(shù)研究的單調性得在單調遞增,在單調遞減,所以,.
試題解析:依題意,
令,則.
(1)①當時,,所以無解,則函數(shù)不存在大于零的極值點;
②當時,由,故在單調遞增.又,
所以在有且只有一個零點.
又注意到在的零點左側,,在的零點右側,,
所以函數(shù)在有且只有一個極值點.
綜上所述,當時,函數(shù)在內有且只有一個極值點.
(2)因為函數(shù)存在兩個極值點(不妨設),
所以,是的兩個零點,且由(1)知,必有.
令得;
令得;
令得.
所以在單調遞增,在單調遞減,
又因為,
所以必有.
令,解得,
此時.
因為是的兩個零點,
所以,.
將代數(shù)式視為以為自變量的函數(shù)
則.
當時,因為,所以,
則在單調遞增.
因為,所以,
又因為,所以.
當時,因為,所以,
則在單調遞減,
因為,所以.
綜上知,且..
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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