Question

已知二項式（1+2x）ⁿ（n≥2，n∈N^*）的展開式中第3項的系數(shù)是A，數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是公差為2的等差數(shù)列，且前n項和為S_n，則

lim

n→∞

A

Sn

=

 

．

Answer 1

考點：極限及其運算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,概率與統(tǒng)計

分析：T3=

∁

2 n

(2x)2=4

∁

2 n

x2，A=4

∁

2 n

=2n²-2n．由于數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是公差為2的等差數(shù)列，且前n項和為S_n，可得S_n=na₁+n²-n.

A

Sn

=

2n-2

a1+n-1

，再利用數(shù)列極限的運算法則即可得出．

解答： 解：T3=

∁

2 n

(2x)2=4

∁

2 n

x2，
∴A=4

∁

2 n

=2n²-2n，
∵數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是公差為2的等差數(shù)列，且前n項和為S_n，
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

×2=na₁+n²-n．
∴

A

Sn

=

2n-2

a1+n-1

，
∴

lim

n→∞

A

Sn

=

lim

n→∞

2- 2 n

a1-1 n +1

=2．
故答案為：2．

點評：本題考查了二項式定理的通項公式、等差數(shù)列的前n項和公式、數(shù)列極限的運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．