已知橢圓
:
,
(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為
,求橢圓的標準方程;
(2)在(1)的條件下,設過定點
的直線
與橢圓
交于不同的兩點
,且
為銳角(
為坐標原點),求直線
的斜率
的取值范圍;
(3)過原點
任意作兩條互相垂直的直線與橢圓
:
相交于
四點,設原點
到四邊形
的一邊距離為
,試求
時
滿足的條件.
試題分析:(1)利用已知條件找出
解出
、
即得;(2)設直線方程,聯(lián)立方程組消去
得到關于
的方程,由
求出
的范圍;(3)設直線
的方程為
聯(lián)立方程組消去
到關于
的方程,利用
、韋達定理、點到直線的距離公式求解.
試題解析:(1)依題意,
,解得
,故橢圓
的方程為
.
(2)如圖,依題意,直線
的斜率必存在,
設直線
的方程為
,
,
,
聯(lián)立方程組
,消去
整理得
,
由韋達定理,
,
,
,
因為直線
與橢圓
相交,則
,
即
,解得
或
,
當
為銳角時,向量
,則
,
即
,解得
,
故當
為銳角時,
.
如圖,
依題意,直線
的斜率存在,設其方程為
,
,
,由于
,
,即
,又
,
①
聯(lián)立方程組
,消去
得
,
由韋達定理得
,
,代入①得
,
令點
到直線
的距離為1,則
,即
,
,
整理得
.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標原點,
焦點在x軸上,左、右焦瞇分別為F
1,F(xiàn)
2,且|F
1F
2|=2,點P(1,
)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)過F
1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,且
的面積為
,求直線l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓長軸的左右端點分別為A,B,短軸的上端點為M,O為橢圓的中心,F(xiàn)為橢圓的右焦點,且
·
=1,|
|=1.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線l交橢圓于P,Q兩點,問:是否存在直線l,使得點F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在直角坐標系
中,點
到兩點
的距離之和等于4,設點
的軌跡為
,直線
與
交于
兩點.
(1)寫出
的方程;
(2)若點
在第一象限,證明當
時,恒有
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓C:
+
=1(a>b>0)的焦距為4,且與橢圓x
2+
=1有相同的離心率,斜率為k的直線l經(jīng)過點M(0,1),與橢圓C交于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時,求k的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
的右焦點為
,
為橢圓的上頂點,
為坐標原點,且兩焦點和短軸的兩端構成邊長為
的正方形.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)是否存在直線
交與橢圓于
,
,且使
,使得
為
的垂心,若存在,求出
點的坐標,若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知雙曲線
與橢圓
共頂點,且焦距是6,此雙曲線的漸近線是( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
過橢圓
的左焦點作互相垂直的兩條直線,分別交橢圓于
四點,則四邊形
面積的最小值為( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
橢圓
的離心率為
,則k的值為( )
A.-21 | B.21 | C.或21 | D.或21 |
查看答案和解析>>