Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)Q(1，）．
（1) 求橢圓C的方程；
(2) 若過(guò)點(diǎn)M(2，0)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)在直線
上，且滿足 (O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的最小值．

Answer 1

（1）；（2）.

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）利用已知的性質(zhì)離心率得到a,c比例關(guān)系，同時(shí)要結(jié)合過(guò)點(diǎn)，得到橢圓的方程。
（2）中利用由已知直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為：
與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及向量關(guān)系式得到k的關(guān)系式，借助于均值不等式求解最值。
解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)殡x心率為，，
所以                                  --------------2分
設(shè)橢圓方程為又點(diǎn)在橢圓上，--------------3分
所以橢圓方程為                              --------------4分
（2）由已知直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為：
由   得
，得：，即  -------6分
設(shè)， 
,，顯然時(shí)；當(dāng)時(shí)，
，-------8分
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上所以
即                       -------9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232213161681799.png" style="vertical-align:middle;" />
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）（因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823221315809777.png" style="vertical-align:middle;" />）  
-------11分
綜上：                                               -------12分