某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1;B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2(注:利潤和投資單位:萬元).
(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金,并將全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).
①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,可獲得多少利潤?
②問:如果你是廠長,怎樣分配這18萬元投資,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤約為多少萬元?
(1)f(x)=0.25x (x≥0),g(x)=2 (x≥0).(2)①8.25(萬元).②當A、B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時,可使該企業(yè)獲得最大利潤8.5萬元.
解析試題分析:(1) 設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別投資x萬元(x≥0),所獲利潤分別為f(x)、g(x)萬元,由題意可設(shè) f(x)=k1x, g(x)=k2,
∴根據(jù)圖象可解得f(x)=0.25x (x≥0), g(x)=2 (x≥0).
(2)由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6,
∴總利潤y=8.25(萬元).
② 設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元,A產(chǎn)品投入(18-x)萬元,企業(yè)可獲總利潤
為y萬元, 則y=(18-x)+2,0≤x≤18.
令=t,t∈[0,3],
則y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.
∴當t=4時,ymax==8.5,此時x=16,18-x=2.
∴當A、B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時,可使該企業(yè)獲得最大利潤8.5萬元.
考點:函數(shù)的實際應(yīng)用題;函數(shù)的最值。
點評:研究數(shù)學(xué)模型,建立數(shù)學(xué)模型,進而借鑒數(shù)學(xué)模型,對提高解決實際問題的能力,以及提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是十分重要的.建立模型的步驟可分為: (1) 分析問題中哪些是變量,哪些是常量,分別用字母表示; (2) 根據(jù)所給條件,運用數(shù)學(xué)知識,確定等量關(guān)系; (3) 寫出的解析式并指明定義域。
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已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若對任意及時,恒有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會產(chǎn)生一些次品,根據(jù)經(jīng)驗知道,其次品率P與日產(chǎn)量x(萬件)之間大體滿足關(guān)系:(其中c為小于6的正常數(shù)). (注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量,如P=0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,有1件為次品,其余為合格品),已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元,但每生產(chǎn)出1萬件次品將虧損1萬元,故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量.
(1)試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額T(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù);
(2)當日產(chǎn)量為多少時,可獲得最大利潤?
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有一批貨物需要用汽車從生產(chǎn)商所在城市甲運至銷售商所在城市乙,已知從城市甲到城市乙只有兩條公路,且通過這兩條公路所用的時間互不影響。
據(jù)調(diào)查統(tǒng)計,通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布如下表:
所用的時間(天數(shù)) | 10 | 11 | 12 | 13 |
通過公路1的頻數(shù) | 20 | 40 | 20 | 20 |
通過公路2的頻數(shù) | 10 | 40 | 40 | 10 |
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已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)若存在,對任意,總存在唯一,使得成立.求實數(shù)的取值范圍.
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某市居民自來水收費標準如下:每戶每月用水不超過4噸時,每噸為1.80元,當居民用水超過4噸時,超過部分每噸3.00元。若某月某用戶用水量為x噸,交水費為y元。
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系
(2)若某用戶某月交水費為31.2元,求該用戶該月的用水量。
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某工廠生產(chǎn)一種儀器,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會產(chǎn)生一些次品,根據(jù)以往的經(jīng)驗知道,其次品率P與日產(chǎn)量(件)之間近似滿足關(guān)系:
(其中為小于96的正整常數(shù))
(注:次品率P=,如P=0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,有1件次品,其余為合格品.)已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元,但每生產(chǎn)一件次品將虧損A/2元,故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量。
試將生產(chǎn)這種儀器每天的贏利T(元)表示為日產(chǎn)量(件的函數(shù));
當日產(chǎn)量為多少時,可獲得最大利潤?
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已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時,有(其中為自然對數(shù)的底,).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),,求證:當時,;
(3)試問:是否存在實數(shù),使得當時,的最小值是3?如果存在,求出實數(shù)的值;如果不存在,請說明理由.
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