Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)的面積可求得橢圓中的，將點(diǎn)帶入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合橢圓中的關(guān)系即可求得橢圓的方程；

（2）表示出圓的方程，分析斜率存在與不存在兩種情況：當(dāng)斜率不存在時(shí)，易知直線與圓相切，可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，由切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式可求得斜率，進(jìn)而將直線方程與圓方程聯(lián)立，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得的值.

（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，

由的面積為可得，

，

則，由點(diǎn)在橢圓上可得，

解之得，

故橢圓的方程為.

（2）過(guò)原點(diǎn)且斜率不存在的直線顯然與圓相切，切點(diǎn)為，

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線為，即，

由圓心到直線的距離恰好等于圓的半徑可得

，解之得，

由可得，即，

，，即點(diǎn)，

，

.