Question

在平面直角坐標系中，點A（-1，0），B（1，0），動點P滿足

PA

•

PB

=2|

OP

|²-2，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）由點C（-2，0）向（1）中的動點P所形成的曲線M引割線l，交曲線于E、F，若

BE

•

BF

∈[

3

4

，2]，點Q在曲線M上，且

OE

+

OF

=t

OQ

，求t范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)點P（x，y），則由條件可得

PA

•

PB

=x²-1+y²=2|

OP

|²-2=2（x²+y²）-2，化簡可得結(jié)果．
（2）由題意可知k_PC存在，故可設(shè)直線方程為y=k（x+2），聯(lián)立x²+y²=1，利用韋達定理和條件求得

BE

•

BF

=

12k2

1+k2

．由△＞0求得k²∈[0，

1

3

），根據(jù)xp2+yp2=1，求得 t²=

16k2

1+k2

．根據(jù)

BE

•

BF

∈[

3

4

，2]，可得 k²∈[

3

45

，

1

5

]，由此求得t² 的范圍，可得t的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)點P（x，y），則由條件可得

PA

•

PB

=x²-1+y²=2|

OP

|²-2=2（x²+y²）-2，
即 x²+y²-1=2（x²+y²）-2，即 x²+y²=1．
（2）由題意可知k_PC存在，故可設(shè)直線方程為y=k（x+2），聯(lián)立x²+y²=1，
可得 （1+k²）x²+4k² x+4k²-1=0，∵判別式△＞0，x₁+x₂=-

4k2

1+4k2

，x₁•x₂=

1-4k2

1+4k2

．
∴

BE

•

BF

=（x₁-1 y₁）•（x₂-1 y₂）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+y₁•y₂=

12k2

1+k2

．
由△＞0求得k²∈[0，

1

3

），（ x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x_p，y_p），
∴x_p=

-4k2

t(1+k2)

，y_p=

4k

t(1+k2)

．
又∵xp2+yp2=1，∴t²=

16k2

1+k2

．
又

BE

•

BF

∈[

3

4

，2]，∴k²∈[

3

45

，

1

5

]，∴t²=16-

16

1+k2

∈[1，

16

6

]，
∴t∈[-

2 6

3

，-1]∪[1，

2 6

3

]．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題